Криволинейный интеграл 2-го рода

Пусть функция  непрерывна в каждой точке  гладкой кривой . Разбив произвольным образом кривую  на  частей  и выбрав в каждой из них произвольно точку , построим интегральные суммы:

где  – длины проекций частичных дуг , на соответствующие координатные оси. Тогда пределы:

называются криволинейными интегралами II рода или криволинейными интегралами по координатам.

Сумма интегралов:

обозначается как криволинейный интеграл

Если кривая замкнутая, то обозначают:

Основные свойства криволинейных интегралов II рода

При изменении направления интегрирования интеграл меняет свой знак:

Сказанное верно и для замкнутой кривой, при этом выбор точки начала обхода безразличен. Положительным направлением обхода считается то, при котором область, ограниченная этой кривой, остается слева (для плоской кривой это движение против часовой стрелки).

Остальные свойства такие же, как и у криволинейного интеграла I рода.

Вычисление криволинейного интеграла II рода

1. Если пространственная кривая  задана параметрическими уравнениями

причем перемещение от точки  к точке  происходит при изменении параметра  от  до , то

2.  В частном случае для плоской кривой

причем перемещение от точки  к точке  происходит при изменении параметра  от  до . Криволинейный интеграл вычисляется по формуле:

3. Если плоская кривая  определена уравнением , причем перемещение от точки  к точке  происходит при изменении  от  до , то

Формула Грина

Интеграл по замкнутому контуру  можно преобразовать в двойной интеграл по области , ограниченной этим контуром, и наоборот, используя формулу Грина:

где функции  и  и их частные производные первого порядка должны быть непрерывными в области  и на контуре .

При этом обход контура  выбирается таким образом, что область  остается слева.

Условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования

Для того, чтобы криволинейный интеграл

не зависел от пути интегрирования, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство

Если же, кроме того,  есть замкнутая кривая, то