Криволинейный интеграл 1-го рода

Краткая теория

Пусть функция  непрерывна в каждой точке  гладкой кривой . Разобьем кривую  произвольным образом на  частей длиной . Обозначим . В каждой части возьмем произвольную точку , тогда предел последовательности интегральных сумм

при  и   называется криволинейным интегралом I рода:

Основные свойства криволинейных интегралов I рода

1. Криволинейный интеграл не зависит от направления пути интегрирования:

2. Если кривая  разбита на части  и , то

3. Если  и  – непрерывные функции на  и  – постоянные числа, то

Вычисление криволинейного интеграла I рода

Вычисление криволинейного интеграла I рода зависит от того, каким образом задана кривая интегрирования.

1. Если пространственная кривая  задана параметрическими уравнениями

то

2. В частности для плоской кривой :

Получаем:

3. Если плоская кривая  определена уравнением , , то

 

4. Если кривая  задана полярным уравнением , то

Примеры решения задач


Задача 1

Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода

По замкнутому контуру , образованному сторонами треугольника  с вершинами .

Решение

Искомый криволинейный интеграл будет равен:

Для отрезка :

Для отрезка ВС:

Найдем уравнение прямой BC:

Для отрезка СА:

Найдем уравнение прямой СА:

Искомый интеграл:

 

Ответ:


Задача 2

Вычислить криволинейный интеграл по указанной кривой.

 – дуга кривой  от  до

Решение

Если вам сейчас не требуется платная помощь с решением задач, контрольных работ и типовых расчетов, но может потребоваться в дальнейшем, то, чтобы не потерять контакт
вступайте в группу ВК
сохраните контакт WhatsApp (+79688494598)
сохраните контакт Телеграм (@helptask) .

Криволинейный интеграл 1-го рода можно вычислить по формуле:

Производная:

Получаем:

 

Ответ:


Задача 3

В задаче вычислить криволинейные интегралы по кривой :

Решение

Криволинейный интеграл 1-го рода можно вычислить по формуле:

 

Ответ: