Криволинейный интеграл 1-го рода

Пусть функция  непрерывна в каждой точке  гладкой кривой . Разобьем кривую  произвольным образом на  частей длиной . Обозначим . В каждой части возьмем произвольную точку , тогда предел последовательности интегральных сумм

при  и   называется криволинейным интегралом I рода:

Основные свойства криволинейных интегралов I рода

1. Криволинейный интеграл не зависит от направления пути интегрирования:

2. Если кривая  разбита на части  и , то

3. Если  и  – непрерывные функции на  и  – постоянные числа, то

Вычисление криволинейного интеграла I рода

Вычисление криволинейного интеграла I рода зависит от того, каким образом задана кривая интегрирования.

1. Если пространственная кривая  задана параметрическими уравнениями

то

2. В частности для плоской кривой :

Получаем:

3. Если плоская кривая  определена уравнением , , то

4. Если кривая  задана полярным уравнением , то