Криволинейный интеграл 1-го рода

Краткая теория

Пусть функция непрерывна в каждой точке гладкой кривой . Разобьем кривую произвольным образом на частей длиной . Обозначим . В каждой части возьмем произвольную точку , тогда предел последовательности интегральных сумм

при и называется криволинейным интегралом I рода:

Основные свойства криволинейных интегралов I рода

1. Криволинейный интеграл не зависит от направления пути интегрирования:

2. Если кривая разбита на части и , то

3. Если и – непрерывные функции на и – постоянные числа, то

Вычисление криволинейного интеграла I рода

Вычисление криволинейного интеграла I рода зависит от того, каким образом задана кривая интегрирования.

1. Если пространственная кривая задана параметрическими уравнениями

то

2. В частности для плоской кривой :

Получаем:

3. Если плоская кривая определена уравнением , , то

4. Если кривая задана полярным уравнением , то

Заказать решение задач, узнать цену help100task@yandex.ru, или шлите свои условия сюда: - на 100task.ru делать работы удобнее, надежнее, аккуратнее, быстрее, безопаснее и дешевле чем в агенствах и на биржах.
Или подписаться на телеграм-канал, чтобы не потерять контакты:

Примеры решения задач

Пример 1

Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода

По замкнутому контуру , образованному сторонами треугольника с вершинами .

Решение

Искомый криволинейный интеграл будет равен:

Для отрезка :

Для отрезка ВС:

Найдем уравнение прямой BC:

Для отрезка СА:

Найдем уравнение прямой СА:

Искомый интеграл:

Ответ:

Пример 2

Вычислить криволинейный интеграл по указанной кривой.

– дуга кривой от до

Решение

Криволинейный интеграл 1-го рода можно вычислить по формуле:

Производная:

Получаем:

Ответ:

Пример 3

В задаче вычислить криволинейные интегралы по кривой :

Решение

Криволинейный интеграл 1-го рода можно вычислить по формуле:

Ответ: