Криволинейный интеграл 1-го рода
Пусть
функция
непрерывна в каждой точке
гладкой кривой
. Разобьем кривую
произвольным образом на
частей длиной
. Обозначим
. В каждой части возьмем
произвольную точку
, тогда предел
последовательности интегральных сумм
при
и
называется криволинейным интегралом I рода:
Основные свойства криволинейных интегралов I рода
1. Криволинейный интеграл не зависит от направления пути интегрирования:
2. Если
кривая
разбита на части
и
, то
3. Если
и
– непрерывные функции на
и
– постоянные числа, то
Вычисление криволинейного интеграла I рода
Вычисление криволинейного интеграла I рода зависит от того, каким образом задана кривая интегрирования.
1. Если
пространственная кривая
задана параметрическими уравнениями
то
2. В
частности для плоской кривой
:
Получаем:
3. Если
плоская кривая
определена уравнением
,
, то
4. Если
кривая
задана полярным уравнением
, то
Примеры решения задач
Задача 1
Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода
По замкнутому
контуру
, образованному сторонами
треугольника
с вершинами
.
Решение
Искомый криволинейный интеграл будет равен:
Для отрезка
:
Для отрезка ВС:
Найдем уравнение прямой BC:
Для отрезка СА:
Найдем уравнение прямой СА:
Искомый интеграл:
Ответ:
Задача 2
Вычислить криволинейный интеграл по указанной кривой.
– дуга кривой
от
до
Решение
Если по каким-либо причинам не справляетесь с решением задач, на портале можно заказать выполнение расчетной домашней работы, ИДЗ, РГР, контрольной и даже отдельных задач в разумные сроки. Чтобы вы смогли сделать заказ, я доступен по следующим каналам связи:
Контакты будут для вас
видны на территории
России и Беларуси
Общение без посредников. Удобная оплата переводом на банковскую карту. Опыт работы более 25 лет.
Подробное решение в формате электронного документа получите точно в срок или раньше.
Криволинейный интеграл 1-го рода можно вычислить по формуле:
Производная:
Получаем:
Ответ:
Задача 3
В задаче
вычислить криволинейные интегралы по кривой
:
Решение
Криволинейный интеграл 1-го рода можно вычислить по формуле:
Ответ:
