Наибольшее и наименьшее значения функции.
Глобальные максимумы и минимумы

Краткая теория

Наибольшее значение функции  на множестве  называют глобальным максимумом, а ее наименьшее значение – глобальным минимумом.

Чтобы найти глобальные экстремумы функции  на отрезке , на котором она непрерывна, надо: найти критические точки, принадлежащие интервалу , и вычислить значения функции в этих точках; вычислить значения функции в граничных точках отрезка, то есть  и ; из всех полученных значений выбрать наименьшее и наибольшее.

Общая схема решения прикладных задач такова:

    Устанавливается зависимость рассматриваемой величины  от некоторой независимой величины  (обозначения, разумеется, могут быть другими). Из условия задачи определяется тот промежуток, в котором может изменяться аргумент . Когда величина  представлена как функция аргумента , к ней применяется теория экстремумов.

В прикладных задачах чаще всего встречается случай, когда внутри рассматриваемого промежутка (отрезка, полуинтервала или интервала) оказывается лишь одна критическая точка . Если в этой точке непрерывная функция имеет локальный максимум (минимум), то он является ее наибольшим (наименьшим) значением.

Примеры решения задач

Задача 1

Определить наибольшее и наименьшее значения функции  на отрезке :

на отрезке

Решение

Найдем критические точки этой функции, лежащие на отрезке  .

Для этого найдем производную функции:

Если вам сейчас не требуется платная помощь с решением задач, контрольных работ и типовых расчетов, но может потребоваться в дальнейшем, то, чтобы не потерять контакт
вступайте в группу ВК
сохраните контакт WhatsApp (+79688494598)
сохраните контакт Телеграм (@helptask) .

Приравняем производную к нулю:

 -критическая точка, лежащая на отрезке

Вычислим значение функции в найденной точке и на концах отрезка:

Сравнивая полученные значения, находим:


Задача 2

Найти наибольшее и наименьшее значения функции  на отрезке .

Решение

Найдем критические точки этой функции, лежащие на отрезке  .

Для этого найдем производную функции:

Приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:

Найденная точка  лежит в заданном интервале

Вычислим значение функции в найденных точках и на концах отрезка:

Сравнивая полученные значения, находим: