Матричные игры.
Платежная матрица, стратегии.
Седловая точка, цена игры
В общем случае матричная игра
задается прямоугольной матрицей размерности
. Номер
строки
матрицы соответствует номеру стратегии
, применяемой игроком
. Номер
столбца
соответствует стратегии
, применяемой игроком
. Описанная игра однозначно определяется матрицей
Каждый элемент
матрицы
является действительным числом и представляет собой сумму выигрыша,
уплачиваемую игроком
игроку
, если
выбирает
стратегию, соответствующую -й строке, а
выбирает
стратегию, соответствующую
-му столбцу.
Матричную игру часто записывают в развернутой форме в виде таблицы, называемой платежной матрицей.
|
… |
|
… |
|
|
|
|
… |
|
… |
|
… | … | … | … | … | … |
|
|
… |
|
… |
|
… | … | … | … | … | … |
|
|
… |
|
… |
|
Каждый игрок выбирает для себя наиболее выгодную стратегию. При этом первый игрок стремится выбрать такую стратегию, которая доставляет ему максимальный выигрыш, тогда как второй игрок выбирает стратегию, приводящую его к минимальному проигрышу. В этой связи вводят понятия нижней и верхней чистой цены игры.
Нижней чистой ценой игры (максимином)
называется число
, определяемое по формуле:
Верхней чистой ценой игры
(минимаксом) называется число
, определяемое по формуле:
Стратегии игроков, соответствующие максимину (минимаксу), называются максиминными (минимаксными).
Различают стратегии чистые и
смешанные. Чистая стратегия
первого
игрока (чистая стратегия
второго
игрока) – это возможный ход первого (второго) игрока, выбранный им с
вероятностью, равной 1.
В матричной игре нижняя чистая цена
игры не превосходит верхней чистой цены игры, то есть
.
Если для чистых стратегий
,
игроков
и
соответственно
имеет место равенство
, то пару чистых стратегий
называют седловой точкой матричной игры, элемент
матрицы,
стоящий на пересечении i-й строки и
-го столбца – седловым
элементом платежной матрицы, а число
– чистой
ценой игры.
Задача 1
Игра задана платежной матрицей:
Определить нижнюю и верхнюю цену игры и наличие седловой точки.
Решение
На сайте можно заказать решение задач, контрольных, самостоятельных, домашних работ (возможно срочное решение), а также онлайн-помощь на экзамене или зачете. Для этого вам нужно только связаться со мной:
Телеграм @helptask
ВКонтакте (vk.com/task100)
WhatsApp +7 (968) 849-45-98
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту.
Подробное решение получите точно в срок или раньше.
Найдем чистые нижнюю и верхнюю цены игры.
Цена
игры
Задача 2
Игра задана платежной матрицей:
Определить нижнюю и верхнюю цену игры и наличие седловой точки.
Решение
Найдем чистые нижнюю и верхнюю цены игры.
- седловая точка
отсутствует