В общем случае матричная игра
задается прямоугольной матрицей размерности
. Номер
строки
матрицы соответствует номеру стратегии
, применяемой игроком
. Номер
столбца
соответствует стратегии
, применяемой игроком
. Описанная игра однозначно определяется матрицей
Каждый элемент
матрицы
является действительным числом и представляет собой сумму выигрыша,
уплачиваемую игроком
игроку
, если
выбирает
стратегию, соответствующую -й строке, а
выбирает
стратегию, соответствующую
-му столбцу.
Матричную игру часто записывают в
развернутой форме в виде таблицы, называемой платежной матрицей.
|
|
|
…
|
|
…
|
|
|
|
…
|
|
…
|
|
|
…
|
…
|
…
|
…
|
…
|
…
|
|
|
|
…
|
|
…
|
|
|
…
|
…
|
…
|
…
|
…
|
…
|
|
|
…
|
|
…
|
|
Каждый игрок выбирает для себя
наиболее выгодную стратегию. При этом первый игрок стремится выбрать такую стратегию,
которая доставляет ему максимальный выигрыш, тогда как второй игрок выбирает
стратегию, приводящую его к минимальному проигрышу. В этой связи вводят понятия
нижней и верхней чистой цены игры.
Нижней чистой ценой игры (максимином)
называется число
, определяемое по формуле:
Верхней чистой ценой игры
(минимаксом) называется число
, определяемое по формуле:
Стратегии игроков, соответствующие
максимину (минимаксу), называются максиминными
(минимаксными).
Различают стратегии чистые и
смешанные. Чистая стратегия
первого
игрока (чистая стратегия
второго
игрока) – это возможный ход первого (второго) игрока, выбранный им с
вероятностью, равной 1.
В матричной игре нижняя чистая цена
игры не превосходит верхней чистой цены игры, то есть
.
Если для чистых стратегий
,
игроков
и
соответственно
имеет место равенство
, то пару чистых стратегий
называют седловой точкой матричной игры, элемент
матрицы,
стоящий на пересечении i-й строки и
-го столбца – седловым
элементом платежной матрицы, а число
– чистой
ценой игры.
Условие задачи 1
Игра задана платежной матрицей:
Определить нижнюю и верхнюю цену игры и наличие седловой
точки.
Решение задачи
1
Найдем
чистые нижнюю и верхнюю цены игры.
Цена
игры
Условие задачи 2
Игра задана платежной матрицей:
Определить нижнюю и верхнюю цену игры и наличие седловой
точки.
Решение задачи 2
Найдем
чистые нижнюю и верхнюю цены игры.
- седловая точка
отсутствует
К оглавлению решебника по методам оптимальных решений ⟩