Функция Лагранжа и метод множителей Лагранжа

Краткая теория

Метод множителей Лагранжа является классическим методом решения задач математического программирования (в частности выпуклого). К сожалению, при практическом применении метода могут встретиться значительные вычислительные трудности, сужающие область его использования. Мы рассматриваем здесь метод Лагранжа главным образом потому, что он является аппаратом, активно используемым для обоснования различных современных численных методов, широко применяемых на практике. Что же касается функции Лагранжа и множителей Лагранжа, то они играют самостоятельную и исключительно важную роль в теории и приложениях не только математического программирования.

Рассмотрим классическую задачу оптимизации:

Среди ограничений этой задачи нет неравенств, нет условий неотрицательности переменных, их дискретности,  и функции  и  непрерывны и имеют частные производные по крайней мере второго порядка.

Классический подход к решению задачи дает систему уравнений (необходимые условия), которым должна удовлетворять точка , доставляющая функции  локальный экстремум на множестве точек, удовлетворяющих ограничениям (для задачи выпуклого программирования найденная точка  будет одновременно и точкой глобального экстремума).

Предположим, что в точке  функция (1) имеет локальный условный экстремум и ранг матрицы  равен . Тогда необходимые условия запишутся в виде:

где

есть функция Лагранжа;  – множители Лагранжа.

 

Существуют также и достаточные условия, при выполнении которых решение системы уравнений (3) определяет точку экстремума функции . Этот вопрос решается на основании исследования знака второго дифференциала функции Лагранжа. Однако достаточные условия представляют главным образом теоретический интерес.

Можно указать следующий порядок решения задачи (1), (2) методом множителей Лагранжа:

1) составить функцию Лагранжа (4);

2) найти частные производные функции Лагранжа по всем переменным  и приравнять их

нулю. Тем самым будет получена система (3, состоящая из  уравнений. Решить полученную систему (если это окажется возможным!) и найти таким образом все стационарные точки функции Лагранжа;

3) из стационарных точек, взятых без координат  выбрать точки, в которых функция  имеет условные локальные экстремумы при наличии ограничений (2). Этот выбор осуществляется, например, с применением достаточных условий локального экстремума. Часто исследование упрощается, если использовать конкретные условия задачи.

Пример решения задачи

Задача

Фирма реализует автомобили двумя способами: через магазин и через торговых агентов. При реализации  автомобилей через магазин расходы на реализацию составляют  у.е., а при продаже  автомобилей через торговых агентов расходы составляют  у.е. Найти оптимальный способ реализации автомобилей, минимизирующий суммарные расходы, если общее число предназначенных для продажи автомобилей составляет 200 штук.

Решение

Если вам сейчас не требуется платная помощь с решением задач, контрольных работ и типовых расчетов, но может потребоваться в дальнейшем, то, чтобы не потерять контакт
вступайте в группу ВК
сохраните контакт WhatsApp (+79688494598)
сохраните контакт Телеграм (@helptask) .

Составим математическую модель задачи.

Пусть  и  – число автомобилей, реализуемых первым и вторым способом.

Целевая функция

(суммарные издержки минимизируются).

Ограничения задачи:

Математическая модель задачи имеет вид:

Для решения задачи применим метод множителей Лагранжа.

Функция Лагранжа имеет вид:

Найдем частные производные по  и  и приравняем их к нулю. Получим следующую систему уравнений:

Решая систему, найдем:

 

Составим определитель из частных производных 2-го порядка для функции  по  и :

Следовательно, в силу достаточного условия существования условного экстремума, функция  в точке  имеет экстремум.

 

Так как , то в полученной точке функция  имеет условный минимум.

 

Итак, оптимальное решение:

Экстремальное значение целевой функции:

 

Ответ: Нужно продать 99 автомобилей через магазин и 101 автомобиль через торговых агентов, при этом расходы минимизируются и составляют 20398 у.е.