Ранговая корреляция.
Коэффициент ранговой корреляции Спирмена
Краткая теория
Ранговая корреляция – это метод корреляционного анализа, отражающий отношения переменных, упорядоченных по возрастанию их значения.
Ранги - это порядковые номера единиц совокупности в ранжированном ряду. Если проранжировать совокупность по двум признакам, связь между которыми изучается, то полное совпадение рангов означает максимально тесную прямую связь, а полная противоположность рангов - максимально тесную обратную связь. Ранжировать оба признака необходимо в одном и том же порядке: либо от меньших значений признака к большим, либо наоборот.
Для практических целей использование ранговой корреляции весьма полезно. Например, если установлена высокая ранговая корреляция между двумя качественными признаками изделий, то достаточно контролировать изделия только по одному из признаков, что удешевляет и ускоряет контроль.
Коэффициент корреляции рангов, предложенный К. Спирменом, относится к непараметрическим показателям связи между переменными, измеренными в ранговой шкале. При расчете этого коэффициента не требуется никаких предположений о характере распределений признаков в генеральной совокупности. Этот коэффициент определяет степень тесноты связи порядковых признаков, которые в этом случае представляют собой ранги сравниваемых величин.
Величина коэффициента корреляции Спирмена лежит в интервале +1 и -1. Он может быть положительным и отрицательным, характеризуя направленность связи между двумя признаками, измеренными в ранговой шкале.
Ранговый коэффициент корреляции Спирмена подсчитывается по формуле:
- разность между рангами по двум переменным
– число
сопоставляемых пар
Первым этапом расчета коэффициента ранговой корреляции является ранжирование рядов переменных. Процедура ранжирования начинается с расположения переменных по возрастанию их значений. Разным значениям присваиваются ранги, обозначаемые натуральными числами. Если встречается несколько равных по значению переменных, им присваивается усредненный ранг.
Преимущество коэффициента корреляции рангов Спирмена состоит в том, что ранжировать можно и по таким признакам, которые нельзя выразить численно: можно проранжировать кандидатов на занятие определенной должности по профессиональному уровню, по умению руководить коллективом, по личному обаянию и т. п. При экспертных оценках можно ранжировать оценки разных экспертов и найти их корреляции друг с другом, чтобы затем исключить из рассмотрения оценки эксперта, слабо коррелированные с оценками других экспертов. Коэффициент корреляции рангов Спирмена применяется для оценки устойчивости тенденции динамики. Недостатком коэффициента корреляции рангов является то, что одинаковым разностям рангов могут соответствовать совершенно отличные разности значений признаков (в случае количественных признаков). Поэтому для последних следует считать корреляцию рангов приближенной мерой тесноты связи, обладающей меньшей информативностью, чем коэффициент корреляции числовых значений признаков.
Смежные темы решебника:
Примеры решения задач
Пример 1
Скачать пример 1 в формате pdf
Опрос случайно выбранных 10 студентов, проживающих в общежитии университета, позволяет выявить зависимость между средним баллом по результатам предыдущей сессии и числом часов в неделю, затраченных студентом на самостоятельную подготовку.
| Средний балл | 4.7 | 4.4 | 3.8 | 3.7 | 4.2 | 4.3 | 3.6 | 4.0 | 3.1 | 3.9 |
| Число часов | 26 | 22 | 8 | 12 | 15 | 30 | 20 | 31 | 10 | 17 |
Определите тесноту связи при помощи коэффициента ранговой корреляции Спирмена.
Решение
На сайте можно заказать решение задач, контрольных, самостоятельных, домашних работ (возможно срочное решение), а также онлайн-помощь на экзамене или зачете. Для этого вам нужно только связаться со мной:
Телеграм @helptask
ВКонтакте (vk.com/task100)
WhatsApp +7 (968) 849-45-98
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту.
Подробное решение получите точно в срок или раньше.
Рассчитаем коэффициент корреляции рангов.
Вспомогательная расчетная таблица
| № |
|
|
Ранжирование | Сравнение рангов |
Разность
рангов
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
| 1 | 26 | 4.7 | 8 | 1 | 3.1 | 1 | 8 | 10 | -2 | 4 |
| 2 | 22 | 4.4 | 10 | 2 | 3.6 | 2 | 7 | 9 | -2 | 4 |
| 3 | 8 | 3.8 | 12 | 3 | 3.7 | 3 | 1 | 4 | -3 | 9 |
| 4 | 12 | 3.7 | 15 | 4 | 3.8 | 4 | 3 | 3 | 0 | 0 |
| 5 | 15 | 4.2 | 17 | 5 | 3.9 | 5 | 4 | 7 | -3 | 9 |
| 6 | 30 | 4.3 | 20 | 6 | 4 | 6 | 9 | 8 | 1 | 1 |
| 7 | 20 | 3.6 | 22 | 7 | 4.2 | 7 | 6 | 2 | 4 | 16 |
| 8 | 31 | 4 | 26 | 8 | 4.3 | 8 | 10 | 6 | 4 | 16 |
| 9 | 10 | 3.1 | 30 | 9 | 4.4 | 9 | 2 | 1 | 1 | 1 |
| 10 | 17 | 3.9 | 31 | 10 | 4.7 | 10 | 5 | 5 | 0 | 0 |
| Сумма | 60 | |||||||||
Коэффициент ранговой корреляции Спирмена вычисляется по формуле:
Подставляя числовые значения, получаем:
Вывод к задаче
Связь между средним баллом по результатам предыдущей сессии и числом часов в неделю, затраченных студентом на самостоятельную подготовку, умеренной тесноты.
Пример 2
Скачать пример 2 в формате pdf
Для оценки тесноты связи между объёмом товарооборота и стоимостью основных фондов рассчитайте коэффициент корреляции рангов Спирмена для магазинов. Сделайте выводы.
| Номер магазина | Стоимость основных фондов (среднегодовая) (млн.руб.) | Товарооборот (млн.руб.) |
| 1 | 3,2 | 113 |
| 2 | 6,8 | 300 |
| 3 | 5,7 | 142 |
| 4 | 6,3 | 280 |
| 5 | 5,7 | 156 |
| 6 | 5,0 | 213 |
| 7 | 6,7 | 298 |
| 8 | 6,5 | 242 |
| 9 | 4,8 | 130 |
| 10 | 6,8 | 184 |
| 11 | 3,0 | 96 |
| 12 | 6,9 | 304 |
| 13 | 2,8 | 95 |
| 14 | 8,3 | 352 |
| 15 | 3,0 | 101 |
| 16 | 4,1 | 148 |
| 17 | 2,2 | 74 |
| 18 | 4,6 | 135 |
| 19 | 7,1 | 320 |
| 20 | 5,6 | 155 |
| 21 | 6,0 | 262 |
| 22 | 4,8 | 138 |
| 23 | 8,1 | 216 |
| 24 | 3,3 | 120 |
Решение
Расчетная вспомогательная таблица
| № |
|
|
Ранжирование | Сравнение рангов |
Разность рангов
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
| 1 | 3,2 | 113 | 2,2 | 1 | 74 | 1 | 5 | 5 | 0 | 0 |
| 2 | 6,8 | 300 | 2,8 | 2 | 95 | 2 | 19,5 | 21 | -1,5 | 2,25 |
| 3 | 5,7 | 142 | 3 | 3 | 96 | 3 | 13,5 | 10 | 3,5 | 12,25 |
| 4 | 6,3 | 280 | 3 | 4 | 101 | 4 | 16 | 19 | -3 | 9 |
| 5 | 5,7 | 156 | 3,2 | 5 | 113 | 5 | 13,5 | 13 | 0,5 | 0,25 |
| 6 | 5,0 | 213 | 3,3 | 6 | 120 | 6 | 11 | 15 | -4 | 16 |
| 7 | 6,7 | 298 | 4,1 | 7 | 130 | 7 | 18 | 20 | -2 | 4 |
| 8 | 6,5 | 242 | 4,6 | 8 | 135 | 8 | 17 | 17 | 0 | 0 |
| 9 | 4,8 | 130 | 4,8 | 9 | 138 | 9 | 9,5 | 7 | 2,5 | 6,25 |
| 10 | 6,8 | 184 | 4,8 | 10 | 142 | 10 | 19,5 | 14 | 5,5 | 30,25 |
| 11 | 3,0 | 96 | 5 | 11 | 148 | 11 | 3,5 | 3 | 0,5 | 0,25 |
| 12 | 6,9 | 304 | 5,6 | 12 | 155 | 12 | 21 | 22 | -1 | 1 |
| 13 | 2,8 | 95 | 5,7 | 13 | 156 | 13 | 2 | 2 | 0 | 0 |
| 14 | 8,3 | 352 | 5,7 | 14 | 184 | 14 | 24 | 24 | 0 | 0 |
| 15 | 3,0 | 101 | 6 | 15 | 213 | 15 | 3,5 | 4 | -0,5 | 0,25 |
| 16 | 4,1 | 148 | 6,3 | 16 | 216 | 16 | 7 | 11 | -4 | 16 |
| 17 | 2,2 | 74 | 6,5 | 17 | 242 | 17 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 18 | 4,6 | 135 | 6,7 | 18 | 262 | 18 | 8 | 8 | 0 | 0 |
| 19 | 7,1 | 320 | 6,8 | 19 | 280 | 19 | 22 | 23 | -1 | 1 |
| 20 | 5,6 | 155 | 6,8 | 20 | 298 | 20 | 12 | 12 | 0 | 0 |
| 21 | 6,0 | 262 | 6,9 | 21 | 300 | 21 | 15 | 18 | -3 | 9 |
| 22 | 4,8 | 138 | 7,1 | 22 | 304 | 22 | 9,5 | 9 | 0,5 | 0,25 |
| 23 | 8,1 | 216 | 8,1 | 23 | 320 | 23 | 23 | 16 | 7 | 49 |
| 24 | 3,3 | 120 | 8,3 | 24 | 352 | 24 | 6 | 6 | 0 | 0 |
| Сумма | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | 157 |
Коэффициент ранговой корреляции Спирмена:
Вывод к задаче
Коэффициент ранговой корреляции близок к единице - между показателями стоимости основных фондов и товарооборотом существует связь.
Пример 3
Скачать пример 3 в формате pdf
Имеются данные о добыче нефти и стоимости 1 л. бензина в некоторых странах в августе 2012 г.
|
|
Добыча нефти за I полугодие 2012 г. (млрд. барр.) | Средняя цена 1 л. бензина (руб.) |
| Россия | 1,9 | 29,2 |
| Саудовская Аравия | 1,8 | 6 |
| США | 1,8 | 31,2 |
| Китай | 0,8 | 41,2 |
| Канада | 0,7 | 42 |
| Иран | 0,6 | 0,36 |
| Кувейт | 0,5 | 8,4 |
| Венесуэла | 0,4 | 0,38 |
Измерить тесноту связи с помощью коэффициента ранговой корреляции Спирмена.
Решение
Рассчитаем коэффициент корреляции рангов Спирмена.
| № |
|
|
Ранги |
|
|
|
|
|
|
|||||
| 1 | 1,9 | 29,2 | 8 | 5 | 3 | 9 |
| 2 | 1,8 | 6 | 6,5 | 3 | 3,5 | 12,25 |
| 3 | 1,8 | 31,2 | 6,5 | 6 | 0,5 | 0,25 |
| 4 | 0,8 | 41,2 | 5 | 7 | -2 | 4 |
| 5 | 0,7 | 42 | 4 | 8 | -4 | 16 |
| 6 | 0,6 | 0,36 | 3 | 1 | 2 | 4 |
| 7 | 0,5 | 8,4 | 2 | 4 | -2 | 4 |
| 8 | 0,4 | 0,38 | 1 | 2 | -1 | 1 |
| Итого |
|
|
|
|
|
50,5 |
Коэффициент ранговой корреляции Спирмена:
Вывод к задаче
Между размером добычи нефти и средней ценой на бензин, судя по величине рассчитанного коэффициента Спирмена, связь очень слабая.