Межотраслевая модель Леонтьева

Задача

Экономика представлена двумя отраслями производства: промышленностью и сельским хозяйством. За отчетный период получены следующие данные о межотраслевых поставках  и векторе объемов конечного использования .

Отрасли	Отрасли-потребители						Ресурсы	Нормы расхода
	1	2						1	2
1	66	46	106	256	156	+16	1	1.8	1.3
2	36	16	66	306	206	-4	2	2.3	1.6
	12	10					3	1.3	0.6

Требуется:

• Определить матрицу коэффициентов прямых материальных затрат , матрицу «затраты-выпуск»  и вектор конечного потребления для вектора валовых выпусков .
• Определить матрицу коэффициентов полных материальных затрат  и валовые объемы выпуска  для вектора конечного использования .
• Определить приросты валовых объемов выпуска, если конечное потребление должно измениться на  по сравнению с .
• Определить матрицу полных затрат ресурсов  для матрицы  ее прямых затрат и суммарную потребность  в ресурсах для вектора конечного использования (отчетного и планового).
• Определить матрицы коэффициентов косвенных затрат первого , второго  и третьего порядка , сравнить сумму затрат  с полными затратами , найти абсолютные погрешности.
• Найти потребность в продукции всех отраслей материального производства для получения единицы конечного продукта i-го вида.

Указание: При вычислениях производить округление с точностью до тысячных.

Решение

Матрица прямых затрат

Найдем валовые выпуски отраслей, просуммировав в каждой строке межотраслевые поставки и координату вектора :

Найдем матрицу прямых затрат. Ее элементы можно найти по формуле:

Подставляя числовые значения, получаем:

Матрица «Затраты - выпуск»

Найдем матрицу «Затраты - выпуск»

Вектор конечного использования Y для валового объема выпуска X

Вектор конечного использования Y для валового объема выпуска X определим на основе балансового соотношения: 

Для этого выполним умножение двух матриц

Матрица полных затрат

Найдем матрицу коэффициентов полных материальных затрат  -она будет равна обратной матрице :

Определитель матрицы :

Алгебраические дополнения:

Обратная матрица:

Вектор валового объема выпуска X для конечного использования Y

Вектор валового объема выпуска  для конечного продукта  определим формуле:

Приросты валовых объемов выпуска

Найдем приросты валовых объемов выпуска, если конечное потребление должно изменяться на  по сравнению с :

Матрица полных затрат ресурсов S

Найдем матрицу полных затрат ресурсов S для заданной матрицы ее прямых затрат M:

Суммарная потребность в ресурсах

Суммарная  потребность в ресурсах для вектора Y₀:

Суммарная  потребность в ресурсах для вектора Y_n:

Матрицы косвенных затрат и сумма затрат

Найдем матрицы косвенных затрат первого, второго и третьего порядка

Сумма затрат:

Разность матриц:

Вектор потребности в продукции

Найдем вектор потребности в продукции всех отраслей материального производства b_ij для получения единицы конечного продукта b_j вида. Для этого просуммируем столбцы матрицы полных затрат:

Это значит, что для производства единицы конечного продукта в первой отрасли во всех отраслях надо расходовать продукции на сумму 1,913 ден.ед., для производства единицы конечного продукта во второй отрасли -на 2,021 ден.ед.