Межотраслевая модель Леонтьева

Пример решения задачи

Условие задачи

Экономика представлена двумя отраслями производства: промышленностью и сельским хозяйством. За отчетный период получены следующие данные о межотраслевых поставках  и векторе объемов конечного использования .

Отрасли Отрасли-потребители         Ресурсы Нормы расхода
1 2 1 2
1 66 46 106 256 156 +16 1 1.8 1.3
2 36 16 66 306 206 -4 2 2.3 1.6
  12 10         3 1.3 0.6

Требуется:

  • Определить матрицу коэффициентов прямых материальных затрат , матрицу «затраты-выпуск»  и вектор конечного потребления для вектора валовых выпусков .
  • Определить матрицу коэффициентов полных материальных затрат  и валовые объемы выпуска  для вектора конечного использования .
  • Определить приросты валовых объемов выпуска, если конечное потребление должно измениться на  по сравнению с .
  • Определить матрицу полных затрат ресурсов  для матрицы  ее прямых затрат и суммарную потребность  в ресурсах для вектора конечного использования (отчетного и планового).
  • Определить матрицы коэффициентов косвенных затрат первого , второго  и третьего порядка , сравнить сумму затрат  с полными затратами , найти абсолютные погрешности.
  • Найти потребность в продукции всех отраслей материального производства для получения единицы конечного продукта i-го вида.

Указание: При вычислениях производить округление с точностью до тысячных.

Решение задачи

Матрица прямых затрат

Найдем валовые выпуски отраслей, просуммировав в каждой строке межотраслевые поставки и координату вектора :

 

Найдем матрицу прямых затрат. Ее элементы можно найти по формуле:

Подставляя числовые значения, получаем:

 

Матрица «Затраты - выпуск»

Найдем матрицу «Затраты - выпуск»

 

Вектор конечного использования Y для валового объема выпуска X

Вектор конечного использования Y для валового объема выпуска X определим на основе балансового соотношения: 

Для этого выполним умножение двух матриц

Матрица полных затрат

Найдем матрицу коэффициентов полных материальных затрат  -она будет равна обратной матрице :

 

Определитель матрицы :

Алгебраические дополнения:

Обратная матрица:

 

Вектор валового объема выпуска X для конечного использования Y

Вектор валового объема выпуска  для конечного продукта  определим формуле:

 

Приросты валовых объемов выпуска

Найдем приросты валовых объемов выпуска, если конечное потребление должно изменяться на  по сравнению с :

 

Матрица полных затрат ресурсов S

Найдем матрицу полных затрат ресурсов S для заданной матрицы ее прямых затрат M:

Суммарная потребность в ресурсах

Суммарная  потребность в ресурсах для вектора Y0:

 

Суммарная  потребность в ресурсах для вектора Yn:

 

Матрицы косвенных затрат и сумма затрат

Найдем матрицы косвенных затрат первого, второго и третьего порядка

 

 

 

Сумма затрат:

 

Разность матриц:

 

Вектор потребности в продукции

Найдем вектор потребности в продукции всех отраслей материального производства bij для получения единицы конечного продукта bj вида. Для этого просуммируем столбцы матрицы полных затрат:

Это значит, что для производства единицы конечного продукта в первой отрасли во всех отраслях надо расходовать продукции на сумму 1,913 ден.ед., для производства единицы конечного продукта во второй отрасли -на 2,021 ден.ед.

К оглавлению решебника по методам оптимальных решений