Поверхностный интеграл II рода
Пусть
– гладкая поверхность, на которой выбрана одна
из двух сторон, определяемая направлением нормали
, функция
непрерывна в каждой точке
поверхности
. Разбив произвольным
образом поверхность
на
поверхностей
и выбрав на каждой из них произвольно точку
, построим интегральные
суммы:
где
– площади проекций поверхностей
на соответствующие координатные плоскости.
Тогда пределы:
называются поверхностными интегралами по координатам, или поверхностными интегралами II рода.
Сумма интегралов:
обозначается как поверхностный интеграл
Если поверхность замкнутая, то обозначают
Поверхностный интеграл II рода обладает свойствами, аналогичными свойствам интеграла I рода, за исключением одного: при изменении стороны поверхности поверхностный интеграл II рода меняет свой знак, например:
где
и
стороны поверхности
.
Вычисление поверхностных интегралов II рода
Пусть
– уравнение поверхности
и пусть
однозначно проецируется в область
на плоскость
, тогда:
где знак
«+» берется в том случае, если на выбранной стороне поверхности
, и знак «-», если
– угол между нормалью к поверхности и осью
.
Аналогично,
где
– уравнение поверхности
– проекция поверхности на плоскость
Знак «+»
берется, если
, и знак «-» - если
– угол между нормалью к поверхности и осью
Аналогично:
где
– уравнение поверхности
– проекция поверхности на плоскость
Знак «+»
берется, если
, и знак «-» - если
– угол между нормалью к поверхности и осью
Зависимость между поверхностными интегралами I и II рода
Зависимость между поверхностными интегралами I и II рода выражается формулой:
где
– направляющие
косинусы нормали
к выбранной
стороне поверхности
. Если поверхность
задана
уравнением
, то
где знак перед дробью выбирается в зависимости от стороны поверхности.
Примеры решения задач
Задача 1
Вычислить интеграл
где поверхность
представляет
собой верхнюю сторону треугольника с вершинами в точках
и
.
Решение
Уравнение
поверхности интегрирования имеет вид
Нормаль
составляет острый угол с осью
, тупой угол с осью
и острый угол с осью
.
Разобьем данный поверхностный интеграл по координатам на три слагаемых интеграла:
и вычислим каждый из них.
Для
вычисления первого интеграла из уравнения поверхности выразим
и подставим в интеграл. Учитывая, что
, выбираем знак «+»,
следовательно:
Для
второго интеграла, учитывая, что
и
, получим:
Для
третьего интеграла, учитывая, что
и
, получим:
Искомый интеграл равен:
Ответ:
Задача 2
Вычислить интеграл
где
– внешняя сторона сферы
Решение
На сайте можно заказать решение задач, контрольных, самостоятельных, домашних работ (возможно срочное решение), а также онлайн-помощь на экзамене или зачете. Для этого вам нужно только связаться со мной 24/7:
Телеграм @helptask
ВКонтакте (vk.com/task100)
WhatsApp +7 (968) 849-45-98
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту. Срок решения - от 1 часа. Цена - от 200 рублей.
Подробное решение получите точно в срок или раньше.
Из уравнения сферы найдем
причем знак «+» соответствует верхней полусфере, а знак «-» нижней. Разобьем интеграл на сумму интегралов по верхней и нижней полусферам:
Переходя к полярным координатам, получаем:
Ответ: