Поверхностный интеграл II рода

Краткая теория

Пусть  – гладкая поверхность, на которой выбрана одна из двух сторон, определяемая направлением нормали , функция  непрерывна в каждой точке  поверхности . Разбив произвольным образом поверхность  на  поверхностей  и выбрав на каждой из них произвольно точку , построим интегральные суммы:

где  – площади проекций поверхностей  на соответствующие координатные плоскости. Тогда пределы:

называются поверхностными интегралами по координатам, или поверхностными интегралами II рода.

Сумма интегралов:

обозначается как поверхностный интеграл

Если поверхность замкнутая, то обозначают

Поверхностный интеграл II рода обладает свойствами, аналогичными свойствам интеграла I рода, за исключением одного: при изменении стороны поверхности поверхностный интеграл II рода меняет свой знак, например:

где  и  стороны поверхности .

 

Вычисление поверхностных интегралов II рода

Пусть  – уравнение поверхности  и пусть  однозначно проецируется в область  на плоскость , тогда:

где знак «+» берется в том случае, если на выбранной стороне поверхности , и знак «-», если

 – угол между нормалью к поверхности и осью .

Аналогично,

где

 – уравнение поверхности

 – проекция поверхности на плоскость

Знак «+» берется, если , и знак «-» - если

 – угол между нормалью к поверхности и осью

Аналогично:

где

 – уравнение поверхности

 – проекция поверхности на плоскость

Знак «+» берется, если , и знак «-» - если

 – угол между нормалью к поверхности и осью

 

Зависимость между поверхностными интегралами I и II рода

Зависимость между поверхностными интегралами I и II рода выражается формулой:

где  – направляющие косинусы нормали  к выбранной стороне поверхности . Если поверхность  задана уравнением , то

где знак перед дробью выбирается в зависимости от стороны поверхности.

Примеры решения задач


Задача 1

Вычислить интеграл

где поверхность  представляет собой верхнюю сторону треугольника с вершинами в точках  и .

Решение

Уравнение поверхности интегрирования имеет вид

Нормаль  составляет острый угол с осью , тупой угол с осью  и острый угол с осью .

Разобьем данный поверхностный интеграл по координатам на три слагаемых интеграла:

и вычислим каждый из них.

Для вычисления первого интеграла из уравнения поверхности выразим  и подставим в интеграл. Учитывая, что , выбираем знак «+», следовательно:

Для второго интеграла, учитывая, что  и , получим:

 

Для третьего интеграла, учитывая, что  и , получим:

 

Искомый интеграл равен:

 

Ответ:


Задача 2

Вычислить интеграл

где  – внешняя сторона сферы

Решение

Если вам сейчас не требуется платная помощь с решением задач, контрольных работ и типовых расчетов, но может потребоваться в дальнейшем, то, чтобы не потерять контакт
вступайте в группу ВК
сохраните контакт WhatsApp (+79688494598)
сохраните контакт Телеграм (@helptask) .

Из уравнения сферы найдем

причем знак «+» соответствует верхней полусфере, а знак «-» нижней. Разобьем интеграл на сумму интегралов по верхней и нижней полусферам:

Переходя к полярным координатам, получаем:

 

Ответ: