Поверхностный интеграл II рода

Пусть  – гладкая поверхность, на которой выбрана одна из двух сторон, определяемая направлением нормали , функция  непрерывна в каждой точке  поверхности . Разбив произвольным образом поверхность  на  поверхностей  и выбрав на каждой из них произвольно точку , построим интегральные суммы:

где  – площади проекций поверхностей  на соответствующие координатные плоскости. Тогда пределы:

называются поверхностными интегралами по координатам, или поверхностными интегралами II рода.

Сумма интегралов:

обозначается как поверхностный интеграл

Если поверхность замкнутая, то обозначают

Поверхностный интеграл II рода обладает свойствами, аналогичными свойствам интеграла I рода, за исключением одного: при изменении стороны поверхности поверхностный интеграл II рода меняет свой знак, например:

где  и  стороны поверхности .

Вычисление поверхностных интегралов II рода

Пусть  – уравнение поверхности  и пусть  однозначно проецируется в область  на плоскость , тогда:

где знак «+» берется в том случае, если на выбранной стороне поверхности , и знак «-», если

 – угол между нормалью к поверхности и осью .

Аналогично,

где

 – уравнение поверхности

 – проекция поверхности на плоскость

Знак «+» берется, если , и знак «-» - если

 – угол между нормалью к поверхности и осью

Аналогично:

где

 – уравнение поверхности

 – проекция поверхности на плоскость

Знак «+» берется, если , и знак «-» - если

 – угол между нормалью к поверхности и осью

Зависимость между поверхностными интегралами I и II рода

Зависимость между поверхностными интегралами I и II рода выражается формулой:

где  – направляющие косинусы нормали  к выбранной стороне поверхности . Если поверхность  задана уравнением , то

где знак перед дробью выбирается в зависимости от стороны поверхности.