Поверхностный интеграл I рода

Краткая теория

Пусть – гладкая поверхность, – непрерывная функция на поверхности . Разобьем произвольным образом поверхность на поверхностей, площади которых . На каждой поверхности возьмем произвольную точку .

Обозначим диаметр поверхности , а – наибольший из диаметров всех поверхностей данного разбиения. Тогда предел последовательности интегральных сумм

при и , то есть при неограниченном увеличении частичных поверхностей, когда все частичные поверхности стягиваются в точку, называется поверхностным интегралом по площади поверхности или поверхностным интегралом I рода:

Основные свойства поверхностных интегралов I рода

1. Поверхностный интеграл не зависит от выбора стороны поверхности интегрирования, то есть:

где и - стороны поверхности

2. Если поверхность разбита на непересекающиеся части и то

3. Если и – непрерывные функции и – постоянные числа, то

Вычисление поверхностного интеграла I рода

Если поверхность задана уравнением , однозначно проецируется на какую-либо координатную плоскость, например плоскость , и область является проекцией поверхности на плоскость , то поверхностный интеграл I рода можно вычислить по формуле:

Площадь поверхности определяют по формуле:

Примеры решения задач

Задача 1

Вычислить поверхностный интеграл 1-го рода по поверхности , где -часть плоскости , отсеченная координатными плоскостями

Решение

Поверхностный интеграл можно вычислить по формуле:

Проекция на плоскости:

Искомый поверхностный интеграл:

Ответ:

Задача 2

Вычислить поверхностные интегралы первого рода по поверхности :

где – часть поверхности , отсеченная плоскостью

Решение

Если по каким-либо причинам не справляетесь с решением задач, на портале можно заказать выполнение расчетной домашней работы, ИДЗ, РГР, контрольной и даже отдельных задач в разумные сроки. Чтобы вы смогли сделать заказ, я доступен по следующим каналам связи:

Контакты будут для вас
видны на территории
России и Беларуси

Общение без посредников. Удобная оплата переводом на банковскую карту. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в формате электронного документа получите точно в срок или раньше.

Сведем поверхностный интеграл к двойному:

– проекция поверхности на плоскость

– проекция

Перейдем к полярным координатам:

Ответ:

Задача 3

С помощью поверхностного интеграла первого рода

Вычислить расход жидкости с полем скоростей.

, протекающей за единицу времени через часть плоскости , лежащую в первом октанте. Единичная нормаль направлена вне начала координат.

Решение

Сделаем рисунок плоскости:

Единичная нормаль к плоскости имеет компоненты

Поверхностный интеграл можно выразить через двойной интеграл:

где уравнение поверхности записано в явном виде:

Область является проекцией на плоскость и ограничена линиями:

Внося в двойной интеграл заданные функции, находим:

Последний запишется через повторный интеграл:

Ответ: