Платная помощь студентам - решение задач и контрольных работ

Помощь в решении ваших задач, домашних работ и контрольных вы можете найти, отправив сообщение ВКонтакте, WhatsApp, Telegram или электроннной почтой, сообщив необходимые вам сроки решения и скинув условие.
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение с автором студенческих работ без посредников. Опыт работы более 20 лет.
Высшая математика и физика, теория вероятностей, линейное программирование, статистика, эконометрика, финансовая математика, методы и модели, оптимальные решения.
На цену сильно влияет срочность решения. Онлайн-помощь на экзамене/зачете (срок решения 1,5 часа и меньше) осуществляется по предварительной записи.

Поверхностный интеграл I рода

Краткая теория

Пусть  – гладкая поверхность,  – непрерывная функция на поверхности . Разобьем произвольным образом поверхность  на  поверхностей, площади которых . На каждой поверхности  возьмем произвольную точку .

Обозначим  диаметр поверхности , а  – наибольший из диаметров всех поверхностей  данного разбиения. Тогда предел последовательности интегральных сумм

при  и , то есть при неограниченном увеличении частичных поверхностей, когда все частичные поверхности стягиваются в точку, называется поверхностным интегралом по площади поверхности или поверхностным интегралом I рода:

Основные свойства поверхностных интегралом I рода:

 

1. Поверхностный интеграл не зависит от выбора стороны поверхности интегрирования, то есть:

где  и  - стороны поверхности

 

2. Если поверхность  разбита на непересекающиеся части  и  то

 

 

3. Если  и  – непрерывные функции  и  – постоянные числа, то

 

Вычисление поверхностного интеграла I рода

Если поверхность  задана уравнением , однозначно проецируется на какую-либо координатную плоскость, например плоскость , и область  является проекцией поверхности  на плоскость , то поверхностный интеграл I рода можно вычислить по формуле:

Площадь поверхности  определяют по формуле:

Примеры решения задач

Пример 1

Вычислить поверхностный интеграл 1-го рода по поверхности , где  -часть плоскости , отсеченная координатными плоскостями

Решение:

Поверхностный интеграл можно вычислить по формуле:

Проекция  на  плоскости:

Искомый поверхностный интеграл:

Ответ:

Пример 2

Вычислить поверхностные интегралы первого рода по поверхности :

где  – часть поверхности , отсеченная плоскостью

 

Решение:

Задали объемную домашнюю работу или контрольную? Скоро важный зачет/экзамен? Нет времени на выполнение работы или подготовку к зачету/экзамену, но есть деньги? На сайте 100task.ru можно заказать решение задач, домашних работ, контрольных или онлайн-помощь на зачете/экзамене ⟩⟩

Если вам сейчас не требуется помощь, но может потребоваться в дальнейшем, то, чтобы не потерять контакт, вступайте в группу ВК.

Сведем поверхностный интеграл к двойному:

 – проекция поверхности  на плоскость

 – проекция

Перейдем к полярным координатам:

 

Ответ:

 

Пример 3

С помощью поверхностного интеграла первого рода

Вычислить расход  жидкости с полем скоростей.

, протекающей за единицу времени через часть  плоскости , лежащую в первом октанте. Единичная нормаль  направлена вне начала координат.

Решение:

Сделаем рисунок плоскости:

Единичная нормаль к плоскости имеет компоненты

Поверхностный интеграл можно выразить через двойной интеграл:

где уравнение поверхности  записано в явном виде:

Область  является проекцией  на плоскость  и ограничена линиями:

Внося в двойной интеграл заданные функции, находим:

Последний запишется через повторный интеграл:

Ответ:

К оглавлению решебника по высшей математике