Поверхностный интеграл I рода
Пусть
– гладкая
поверхность,
– непрерывная
функция на поверхности
. Разобьем произвольным образом поверхность
на
поверхностей,
площади которых
. На каждой поверхности
возьмем
произвольную точку
.
Обозначим
диаметр
поверхности
, а
– наибольший из
диаметров всех поверхностей
данного
разбиения. Тогда предел последовательности интегральных сумм
при
и
, то есть при неограниченном увеличении частичных
поверхностей, когда все частичные поверхности стягиваются в точку, называется
поверхностным интегралом по площади поверхности или поверхностным интегралом I рода:
Основные свойства поверхностных интегралов I рода
1. Поверхностный интеграл не зависит от выбора стороны поверхности интегрирования, то есть:
где
и
- стороны
поверхности
2. Если поверхность
разбита на
непересекающиеся части
и
то
3. Если
и
– непрерывные
функции
и
– постоянные
числа, то
Вычисление поверхностного интеграла I рода
Если
поверхность
задана уравнением
, однозначно проецируется
на какую-либо координатную плоскость, например плоскость
, и область
является проекцией поверхности
на плоскость
, то поверхностный интеграл
I рода можно вычислить по формуле:
Площадь поверхности
определяют по
формуле:
Примеры решения задач
Задача 1
Вычислить
поверхностный интеграл 1-го рода по поверхности
, где
-часть плоскости
, отсеченная координатными
плоскостями
Решение
Поверхностный интеграл можно вычислить по формуле:
Проекция
на
плоскости:
Искомый поверхностный интеграл:
Ответ:
Задача 2
Вычислить
поверхностные интегралы первого рода по поверхности
:
где
– часть поверхности
, отсеченная плоскостью
Решение
Если по каким-либо причинам не справляетесь с решением задач, на портале можно заказать выполнение расчетной домашней работы, ИДЗ, РГР, контрольной и даже отдельных задач в разумные сроки. Чтобы вы смогли сделать заказ, я доступен по следующим каналам связи:
Контакты будут для вас
видны на территории
России и Беларуси
Общение без посредников. Удобная оплата переводом на банковскую карту. Опыт работы более 25 лет.
Подробное решение в формате электронного документа получите точно в срок или раньше.
Сведем поверхностный интеграл к двойному:
– проекция поверхности
на плоскость
– проекция
Перейдем к полярным координатам:
Ответ:
Задача 3
С помощью поверхностного интеграла первого рода
Вычислить
расход
жидкости с полем скоростей.
, протекающей за единицу
времени через часть
плоскости
, лежащую в первом октанте.
Единичная нормаль
направлена вне начала координат.
Решение
Сделаем рисунок плоскости:
Единичная нормаль к плоскости имеет компоненты
Поверхностный интеграл можно выразить через двойной интеграл:
где уравнение поверхности
записано в
явном виде:
Область
является
проекцией
на плоскость
и ограничена
линиями:
Внося в двойной интеграл заданные функции, находим:
Последний запишется через повторный интеграл:
Ответ: