Поверхностный интеграл I рода

Краткая теория

Пусть  – гладкая поверхность,  – непрерывная функция на поверхности . Разобьем произвольным образом поверхность  на  поверхностей, площади которых . На каждой поверхности  возьмем произвольную точку .

Обозначим  диаметр поверхности , а  – наибольший из диаметров всех поверхностей  данного разбиения. Тогда предел последовательности интегральных сумм

при  и , то есть при неограниченном увеличении частичных поверхностей, когда все частичные поверхности стягиваются в точку, называется поверхностным интегралом по площади поверхности или поверхностным интегралом I рода:

Основные свойства поверхностных интегралов I рода

1. Поверхностный интеграл не зависит от выбора стороны поверхности интегрирования, то есть:

где  и  - стороны поверхности

 

2. Если поверхность  разбита на непересекающиеся части  и  то

 

 

3. Если  и  – непрерывные функции  и  – постоянные числа, то

 

Вычисление поверхностного интеграла I рода

Если поверхность  задана уравнением , однозначно проецируется на какую-либо координатную плоскость, например плоскость , и область  является проекцией поверхности  на плоскость , то поверхностный интеграл I рода можно вычислить по формуле:

Площадь поверхности  определяют по формуле:

Примеры решения задач


Задача 1

Вычислить поверхностный интеграл 1-го рода по поверхности , где  -часть плоскости , отсеченная координатными плоскостями

Решение

Поверхностный интеграл можно вычислить по формуле:

Проекция  на  плоскости:

Искомый поверхностный интеграл:

 

Ответ:


Задача 2

Вычислить поверхностные интегралы первого рода по поверхности :

где  – часть поверхности , отсеченная плоскостью

 

Решение

Если вам сейчас не требуется платная помощь с решением задач, контрольных работ и типовых расчетов, но может потребоваться в дальнейшем, то, чтобы не потерять контакт
вступайте в группу ВК
сохраните контакт WhatsApp (+79688494598)
сохраните контакт Телеграм (@helptask) .

Сведем поверхностный интеграл к двойному:

 – проекция поверхности  на плоскость

 – проекция

Перейдем к полярным координатам:

 

 

Ответ:


Задача 3

С помощью поверхностного интеграла первого рода

Вычислить расход  жидкости с полем скоростей.

, протекающей за единицу времени через часть  плоскости , лежащую в первом октанте. Единичная нормаль  направлена вне начала координат.

Решение

Сделаем рисунок плоскости:

Единичная нормаль к плоскости имеет компоненты

Поверхностный интеграл можно выразить через двойной интеграл:

где уравнение поверхности  записано в явном виде:

Область  является проекцией  на плоскость  и ограничена линиями:

Внося в двойной интеграл заданные функции, находим:

Последний запишется через повторный интеграл:

 

Ответ: