Поверхностный интеграл I рода

Пусть  – гладкая поверхность,  – непрерывная функция на поверхности . Разобьем произвольным образом поверхность  на  поверхностей, площади которых . На каждой поверхности  возьмем произвольную точку .

Обозначим  диаметр поверхности , а  – наибольший из диаметров всех поверхностей  данного разбиения. Тогда предел последовательности интегральных сумм

при  и , то есть при неограниченном увеличении частичных поверхностей, когда все частичные поверхности стягиваются в точку, называется поверхностным интегралом по площади поверхности или поверхностным интегралом I рода:

Основные свойства поверхностных интегралов I рода

1. Поверхностный интеграл не зависит от выбора стороны поверхности интегрирования, то есть:

где  и  - стороны поверхности

2. Если поверхность  разбита на непересекающиеся части  и  то

3. Если  и  – непрерывные функции  и  – постоянные числа, то

Вычисление поверхностного интеграла I рода

Если поверхность  задана уравнением , однозначно проецируется на какую-либо координатную плоскость, например плоскость , и область  является проекцией поверхности  на плоскость , то поверхностный интеграл I рода можно вычислить по формуле:

Площадь поверхности  определяют по формуле: