Приложения криволинейных интегралов

Краткая теория


Длина дуги

Длину дуги  плоской или пространственной линии  определяют по формуле:

Масса дуги

Если  – линейная плотность вещества в точках дуги, то массу  дуги  определяют по формуле:

Статистические моменты

Статистические моменты  и  плоской дуги  относительно координатных осей  и  определяют по формулам:

Моменты инерции

Моменты инерции ,  плоской дуги  относительно координатных осей  и  определяют по формулам:

Полярный момент инерции

Полярный момент инерции  плоской дуги  относительно начала координат определяют по формуле:

Площадь фигуры

Площадь фигуры, расположенной в плоскости  и ограниченной замкнутой линией , вычисляют по формуле:

Работа, приложенная к точке, при перемещении по дуге

Работу, совершаемую силой  приложенной в точке  при перемещении ее по дуге , вычисляют по формуле:

Примеры решения задач


Задача 1

Найти момент инерции относительно оси  четверти однородной окружности , расположенной в первом квадранте.

Решение

Окружность однородна, следовательно , следовательно искомый момент инерции:

Для удобства вычислений перейдем к параметрическим уравнениям окружности

Тогда:

 

Ответ:


Задача 2

Найти массу дуги кривой  от точки  до , если плотность в каждой точке ее равна абсциссе точки;

Решение

Если вам сейчас не требуется платная помощь с решением задач, контрольных работ и типовых расчетов, но может потребоваться в дальнейшем, то, чтобы не потерять контакт
вступайте в группу ВК
сохраните контакт WhatsApp (+79688494598)
сохраните контакт Телеграм (@helptask) .

Плотность дуги: 

Искомая масса будет выражаться криволинейным интегралом 1-го рода:

Производная:

Искомая масса:

 

Ответ: .


Задача 3

Найти массу дуги окружности , лежащей в первой четверти, если плотность в каждой ее точке равна абсциссе точки.

Решение

Плотность:

Искомая масса будет выражаться криволинейным интегралом 1-го рода:

Параметрическое уравнение окружности:

Окружность лежит в первой четверти, поэтому

 

Ответ: .


Задача 4

Вычислить работу силы  при обходе точки ее приложения по границе  области  в положительном направлении, начиная от точки .

Решение

Искомая работа будет равна криволинейному интегралу 2-го рода:

Для вычисления интеграла воспользуемся формулой Грина:

 

Ответ: .


Задача 5

Вычислить работу силового поля  при перемещении материальной точки вдоль пути .

Решение

Искомая работа будет выражаться криволинейным интегралом 2-го рода:

Параметр :

Перейдем к определенному интегралу:

Искомая работа:

 

Ответ: 


Задача 6

Вычислить работу силы  при перемещении материальной точки вдоль линии  от точки  до точки .

Решение

Искомая работа будет выражаться криволинейным интегралом 2-го рода:

Криволинейный интеграл 2-го рода можно свести к определенному интегралу по следующей формуле:

Получаем:

 

Ответ: