Приложения криволинейных интегралов
Краткая теория
Длина дуги
Длину дуги
плоской или пространственной линии
определяют по формуле:
Масса дуги
Если
– линейная плотность вещества в точках дуги,
то массу
дуги
определяют по формуле:
Статистические моменты
Статистические
моменты
и
плоской дуги
относительно координатных осей
и
определяют по формулам:
Моменты инерции
Моменты
инерции
,
плоской дуги
относительно координатных осей
и
определяют по формулам:
Полярный момент инерции
Полярный
момент инерции
плоской дуги
относительно начала координат определяют по
формуле:
Площадь фигуры
Площадь
фигуры, расположенной в плоскости
и ограниченной замкнутой линией
, вычисляют по формуле:
Работа, приложенная к точке, при перемещении по дуге
Работу, совершаемую силой
приложенной в точке
при перемещении ее по дуге
, вычисляют по формуле:
Примеры решения задач
Задача 1
Найти
момент инерции относительно оси
четверти однородной окружности
, расположенной в первом
квадранте.
Решение
Окружность
однородна, следовательно
, следовательно искомый
момент инерции:
Для удобства вычислений перейдем к параметрическим уравнениям окружности
Тогда:
Ответ:
Задача 2
Найти
массу дуги кривой
от точки
до
, если плотность в каждой точке
ее равна абсциссе точки;
Решение
На сайте можно заказать решение задач, контрольных, самостоятельных, домашних работ (возможно срочное решение), а также онлайн-помощь на экзамене или зачете. Для этого вам нужно только связаться со мной 24/7:
Телеграм @helptask
ВКонтакте (vk.com/task100)
WhatsApp +7 (968) 849-45-98
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту. Срок решения - от 1 часа. Цена - от 200 рублей.
Подробное решение получите точно в срок или раньше.
Плотность
дуги:
Искомая масса будет выражаться криволинейным интегралом 1-го рода:
Производная:
Искомая масса:
Ответ:
.
Задача 3
Найти
массу дуги окружности
, лежащей в первой
четверти, если плотность в каждой ее точке равна абсциссе точки.
Решение
Плотность:
Искомая масса будет выражаться криволинейным интегралом 1-го рода:
Параметрическое уравнение окружности:
Окружность лежит в
первой четверти, поэтому
Ответ:
.
Задача 4
Вычислить
работу силы
при обходе точки ее приложения по границе
области
в положительном направлении, начиная от точки
.
Решение
Искомая работа будет равна криволинейному интегралу 2-го рода:
Для вычисления интеграла воспользуемся формулой Грина:
Ответ:
.
Задача 5
Вычислить
работу силового поля
при перемещении материальной точки вдоль пути
.
Решение
Искомая работа будет выражаться криволинейным интегралом 2-го рода:
Параметр
:
Перейдем к определенному интегралу:
Искомая работа:
Ответ:
Задача 6
Вычислить
работу силы
при перемещении материальной точки вдоль линии
от точки
до точки
.
Решение
Искомая работа будет выражаться криволинейным интегралом 2-го рода:
Криволинейный интеграл 2-го рода можно свести к определенному интегралу по следующей формуле:
Получаем:
Ответ: