Приложения криволинейных интегралов

Краткая теория

Длина дуги

Длину дуги плоской или пространственной линии определяют по формуле:

Масса дуги

Если – линейная плотность вещества в точках дуги, то массу дуги определяют по формуле:

Статистические моменты

Статистические моменты и плоской дуги относительно координатных осей и определяют по формулам:

Моменты инерции

Моменты инерции , плоской дуги относительно координатных осей и определяют по формулам:

Полярный момент инерции

Полярный момент инерции плоской дуги относительно начала координат определяют по формуле:

Площадь фигуры

Площадь фигуры, расположенной в плоскости и ограниченной замкнутой линией , вычисляют по формуле:

Работа, приложенная к точке, при перемещении по дуге

Работу, совершаемую силой приложенной в точке при перемещении ее по дуге , вычисляют по формуле:

Примеры решения задач

Задача 1

Найти момент инерции относительно оси четверти однородной окружности , расположенной в первом квадранте.

Решение

Окружность однородна, следовательно , следовательно искомый момент инерции:

Для удобства вычислений перейдем к параметрическим уравнениям окружности

Тогда:

Ответ:

Задача 2

Найти массу дуги кривой от точки до , если плотность в каждой точке ее равна абсциссе точки;

Решение

На сайте можно заказать решение задач, контрольных, самостоятельных, домашних работ (возможно срочное решение), а также онлайн-помощь на экзамене или зачете. Для этого вам нужно только связаться со мной 24/7:

Телеграм @helptask
ВКонтакте (vk.com/task100)
WhatsApp +7 (968) 849-45-98

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту. Срок решения - от 1 часа. Цена - от 200 рублей.

Подробное решение получите точно в срок или раньше.

Плотность дуги:

Искомая масса будет выражаться криволинейным интегралом 1-го рода:

Производная:

Искомая масса:

Ответ: .

Задача 3

Найти массу дуги окружности , лежащей в первой четверти, если плотность в каждой ее точке равна абсциссе точки.

Решение

Плотность:

Искомая масса будет выражаться криволинейным интегралом 1-го рода:

Параметрическое уравнение окружности:

Окружность лежит в первой четверти, поэтому

Ответ: .

Задача 4

Вычислить работу силы при обходе точки ее приложения по границе области в положительном направлении, начиная от точки .

Решение

Искомая работа будет равна криволинейному интегралу 2-го рода:

Для вычисления интеграла воспользуемся формулой Грина:

Ответ: .

Задача 5

Вычислить работу силового поля при перемещении материальной точки вдоль пути .

Решение

Искомая работа будет выражаться криволинейным интегралом 2-го рода:

Параметр :

Перейдем к определенному интегралу:

Искомая работа:

Ответ:

Задача 6

Вычислить работу силы при перемещении материальной точки вдоль линии от точки до точки .

Решение

Искомая работа будет выражаться криволинейным интегралом 2-го рода:

Криволинейный интеграл 2-го рода можно свести к определенному интегралу по следующей формуле:

Получаем:

Ответ: