Платная помощь студентам - решение задач и контрольных работ

Помощь в решении ваших задач, домашних работ и контрольных вы можете найти, отправив сообщение ВКонтакте, WhatsApp, Telegram или электроннной почтой, сообщив необходимые вам сроки решения и скинув условие.
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение с автором студенческих работ без посредников. Опыт работы более 20 лет.
Высшая математика и физика, теория вероятностей, линейное программирование, статистика, эконометрика, финансовая математика, методы и модели, оптимальные решения.
На цену сильно влияет срочность решения. Онлайн-помощь на экзамене/зачете (срок решения 1,5 часа и меньше) осуществляется по предварительной записи.

Приложения криволинейных интегралов

Краткая теория

Длину дуги  плоской или пространственной линии  определяют по формуле:

 

Если  – линейная плотность вещества в точках дуги, то массу  дуги  определяют по формуле:

 

Статистические моменты  и  плоской дуги  относительно координатных осей  и  определяют по формулам:

 

Моменты инерции ,  плоской дуги  относительно координатных осей  и  определяют по формулам:

Полярный момент инерции  плоской дуги  относительно начала координат определяют по формуле:

 

Площадь  фигуры, расположенной в плоскости  и ограниченной замкнутой линией , вычисляют по формуле:

 

Работу, совершаемую силой  приложенной в точке  при перемещении ее по дуге , вычисляют по формуле:

Примеры решения задач

Пример 1

Найти момент инерции относительно оси  четверти однородной окружности , расположенной в первом квадранте.

Решение:

Окружность однородна, следовательно , следовательно искомый момент инерции:

Для удобства вычислений перейдем к параметрическим уравнениям окружности

Тогда:

Ответ:

Пример 2

Найти массу дуги кривой  от точки  до , если плотность в каждой точке ее равна абсциссе точки;

Решение:

Задали объемную домашнюю работу или контрольную? Скоро важный зачет/экзамен? Нет времени на выполнение работы или подготовку к зачету/экзамену, но есть деньги? На сайте 100task.ru можно заказать решение задач, домашних работ, контрольных или онлайн-помощь на зачете/экзамене ⟩⟩

Если вам сейчас не требуется помощь, но может потребоваться в дальнейшем, то, чтобы не потерять контакт, вступайте в группу ВК.

Плотность дуги: 

Искомая масса будет выражаться криволинейным интегралом 1-го рода:

Производная:

Искомая масса:

Ответ: .

Пример 3

Найти массу дуги окружности , лежащей в первой четверти, если плотность в каждой ее точке равна абсциссе точки.

Решение:

Плотность:

Искомая масса будет выражаться криволинейным интегралом 1-го рода:

Параметрическое уравнение окружности:

Окружность лежит в первой четверти, поэтому

Ответ: .

 

Пример 4

Вычислить работу силы  при обходе точки ее приложения по границе  области  в положительном направлении, начиная от точки .

Решение:

Искомая работа будет равна криволинейному интегралу 2-го рода:

Для вычисления интеграла воспользуемся формулой Грина:

Ответ: .

Пример 5

Вычислить работу силового поля  при перемещении материальной точки вдоль пути .

Решение:

Искомая работа будет выражаться криволинейным интегралом 2-го рода:

Параметр :

Перейдем к определенному интегралу:

Искомая работа:

Ответ:  

Пример 6

Вычислить работу силы  при перемещении материальной точки вдоль линии  от точки  до точки .

Решение:

Искомая работа будет выражаться криволинейным интегралом 2-го рода:

Криволинейный интеграл 2-го рода можно свести к определенному интегралу по следующей формуле:

Получаем:

Ответ:

К оглавлению решебника по высшей математике