Замена переменных в двойном и тройном интегралах

Замена переменных в двойном интеграле

При переходе в двойном интеграле от прямоугольных координат  к полярным , связанным с прямоугольными координатами соотношениями:

имеет место формула:

В более общем случае, если  – непрерывна и в двойном интеграле:

требуется от переменных  перейти к переменным , связанным с  непрерывными и дифференцируемыми соотношениями:

устанавливающими взаимно-однозначное и в обе стороны непрерывное соответствие между точками области  плоскости  и точками некоторой области  плоскости , и при этом якобиан:

сохраняет постоянный знак в области , то справедлива формула:

Пределы нового интеграла определяются по общим правилам на основании вида области

Замена переменных в тройном интеграле

Если в тройном интеграле

от переменных  требуется перейти к переменным , связанным с  соотношениями

где функции :

- непрерывны вместе со своими частными производными 1-го порядка;

- устанавливают взаимно-однозначное и в обе стороны непрерывное соответствие между точками области интегрирования  пространства  и точками некоторой области  пространства ,

- функциональный определитель (якобиан) этих функций:

сохраняет в области  постоянный знак, то справедлива формула:

В частности, для цилиндрических координат , где

получаем, что 

Для сферических координат  (  – долгота,  -ширина,  – радиус-вектор), где

имеем, что