Замена переменных в двойном и тройном интегралах
Замена переменных в двойном интеграле
При
переходе в двойном интеграле от прямоугольных координат
к полярным
, связанным с
прямоугольными координатами соотношениями:
имеет место формула:
В более
общем случае, если
– непрерывна и в двойном интеграле:
требуется
от переменных
перейти к переменным
, связанным с
непрерывными и дифференцируемыми
соотношениями:
устанавливающими
взаимно-однозначное и в обе стороны непрерывное соответствие между точками
области
плоскости
и точками некоторой области
плоскости
, и при этом якобиан:
сохраняет
постоянный знак в области
, то справедлива формула:
Пределы
нового интеграла определяются по общим правилам на основании вида области
Замена переменных в тройном интеграле
Если в тройном интеграле
от
переменных
требуется перейти к переменным
, связанным с
соотношениями
где
функции
:
- непрерывны вместе со своими частными производными 1-го порядка;
-
устанавливают взаимно-однозначное и в обе стороны непрерывное соответствие
между точками области интегрирования
пространства
и точками некоторой области
пространства
,
- функциональный определитель (якобиан) этих функций:
сохраняет
в области
постоянный знак, то справедлива формула:
В
частности, для цилиндрических координат
, где
получаем,
что
Для сферических координат
(
– долгота,
-ширина,
– радиус-вектор), где
имеем,
что
Примеры решения задач
Задача 1
Вычислить
двойной интеграл по области
, ограниченной указанными
линиями, переходя, где это необходимо, к полярным координатам.
где
-полукруг
Решение
Полагая
В области
:
Получаем:
Ответ:
Задача 2
Вычислить
с помощью двойного интеграла площадь плоской области
, ограниченной заданными
линиями:
Решение
Сделаем чертеж области интегрирования:
Перейдем к полярным координатам:
Уравнение окружности:
Искомая площадь:
Ответ:
Задача 3
Вычислить
с помощью двойного интеграла в полярных координатах площадь фигуры,
ограниченной кривой, заданной уравнением в декартовых координатах. Параметр
положителен:
Решение
На сайте можно заказать решение задач, контрольных, самостоятельных, домашних работ (возможно срочное решение), а также онлайн-помощь на экзамене или зачете. Для этого вам нужно только связаться со мной 24/7:
Телеграм @helptask
ВКонтакте (vk.com/task100)
WhatsApp +7 (968) 849-45-98
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту. Срок решения - от 1 часа. Цена - от 200 рублей.
Подробное решение получите точно в срок или раньше.
Воспользуемся формулами:
Найдем половину площади:
Искомая площадь:
Ответ:
Задача 4
Вычислить
тройной интеграл по области
, ограниченной указанными
поверхностями.
Решение
Изобразим
область
на чертеже:
Перейдем к цилиндрическим координатам:
Ответ:
Задача 5
Вычислить
объем тела
Решение
Это
полусфера радиусом
Перейдем к сферическим координатам:
Ответ: