Платная помощь студентам - решение задач и контрольных работ

Помощь в решении ваших задач, домашних работ и контрольных вы можете найти, отправив сообщение ВКонтакте, WhatsApp, Telegram или электроннной почтой, сообщив необходимые вам сроки решения и скинув условие.
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение с автором студенческих работ без посредников. Опыт работы более 20 лет.
Высшая математика и физика, теория вероятностей, линейное программирование, статистика, эконометрика, финансовая математика, методы и модели, оптимальные решения.
На цену сильно влияет срочность решения. Онлайн-помощь на экзамене/зачете (срок решения 1,5 часа и меньше) осуществляется по предварительной записи.

Замена переменных в двойном и тройном интегралах

Краткая теория

Замена переменных в двойном интеграле

При переходе в двойном интеграле от прямоугольных координат  к полярным , связанным с прямоугольными координатами соотношениями:

имеет место формула:

В более общем случае, если  – непрерывна и в двойном интеграле:

требуется от переменных  перейти к переменным , связанным с  непрерывными и дифференцируемыми соотношениями:

устанавливающими взаимно-однозначное и в обе стороны непрерывное соответствие между точками области  плоскости  и точками некоторой области  плоскости , и при этом якобиан:

сохраняет постоянный знак в области , то справедлива формула:

 

Пределы нового интеграла определяются по общим правилам на основании вида области

Замена переменных в тройном интеграле

Если в тройном интеграле

от переменных  требуется перейти к переменным , связанным с  соотношениями

где функции :

- непрерывны вместе со своими частными производными 1-го порядка;

- устанавливают взаимно-однозначное и в обе стороны непрерывное соответствие между точками области интегрирования  пространства  и точками некоторой области  пространства ,

- функциональный определитель (якобиан) этих функций:

сохраняет в области  постоянный знак, то справедлива формула:

В частности, для цилиндрических координат , где

получаем, что 

Для сферических координат  (  – долгота,  -ширина,  – радиус-вектор), где

имеем, что

Примеры решения задач

Пример 1

Вычислить двойной интеграл по области , ограниченной указанными линиями, переходя, где это необходимо, к полярным координатам.

где  -полукруг  

Решение:

Полагая

В области :  

Получаем:

Ответ:

 

Пример 2

Вычислить с помощью двойного интеграла площадь плоской области , ограниченной заданными линиями:

Решение:

Сделаем чертеж области интегрирования:

Перейдем к полярным координатам:

Уравнение окружности: 

Искомая площадь:

Ответ:

Пример 3

Вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координатах площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнением в декартовых координатах. Параметр  положителен:

Решение:

Задали объемную домашнюю работу или контрольную? Скоро важный зачет/экзамен? Нет времени на выполнение работы или подготовку к зачету/экзамену, но есть деньги? На сайте 100task.ru можно заказать решение задач, домашних работ, контрольных или онлайн-помощь на зачете/экзамене ⟩⟩

Если вам сейчас не требуется помощь, но может потребоваться в дальнейшем, то, чтобы не потерять контакт, вступайте в группу ВК.

Воспользуемся формулами:

Найдем половину площади:

Искомая площадь:

 

Ответ:  

Пример 4

Вычислить тройной интеграл по области , ограниченной указанными поверхностями.

Решение:

Изобразим область  на чертеже:

Перейдем к цилиндрическим координатам:

Ответ:

 

 

Пример 5

Вычислить объем тела

Решение:

Это полусфера радиусом

Перейдем к сферическим координатам:

 

Ответ:

К оглавлению решебника по высшей математике