Замена переменных в двойном и тройном интегралах

Краткая теория

Замена переменных в двойном интеграле

При переходе в двойном интеграле от прямоугольных координат  к полярным , связанным с прямоугольными координатами соотношениями:

имеет место формула:

В более общем случае, если  – непрерывна и в двойном интеграле:

требуется от переменных  перейти к переменным , связанным с  непрерывными и дифференцируемыми соотношениями:

устанавливающими взаимно-однозначное и в обе стороны непрерывное соответствие между точками области  плоскости  и точками некоторой области  плоскости , и при этом якобиан:

сохраняет постоянный знак в области , то справедлива формула:

 

Пределы нового интеграла определяются по общим правилам на основании вида области

Замена переменных в тройном интеграле

Если в тройном интеграле

от переменных  требуется перейти к переменным , связанным с  соотношениями

где функции :

- непрерывны вместе со своими частными производными 1-го порядка;

- устанавливают взаимно-однозначное и в обе стороны непрерывное соответствие между точками области интегрирования  пространства  и точками некоторой области  пространства ,

- функциональный определитель (якобиан) этих функций:

сохраняет в области  постоянный знак, то справедлива формула:

В частности, для цилиндрических координат , где

получаем, что 

Для сферических координат  (  – долгота,  -ширина,  – радиус-вектор), где

имеем, что

Примеры решения задач


Задача 1

Вычислить двойной интеграл по области , ограниченной указанными линиями, переходя, где это необходимо, к полярным координатам.

где  -полукруг  

Решение

Полагая

В области :  

Получаем:

 

Ответ:


Задача 2

Вычислить с помощью двойного интеграла площадь плоской области , ограниченной заданными линиями:

Решение

Сделаем чертеж области интегрирования:

Перейдем к полярным координатам:

Уравнение окружности: 

Искомая площадь:

 

Ответ:


Задача 3

Вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координатах площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнением в декартовых координатах. Параметр  положителен:

Решение

Если вам сейчас не требуется платная помощь с решением задач, контрольных работ и типовых расчетов, но может потребоваться в дальнейшем, то, чтобы не потерять контакт
вступайте в группу ВК
сохраните контакт WhatsApp (+79688494598)
сохраните контакт Телеграм (@helptask) .

Воспользуемся формулами:

Найдем половину площади:

Искомая площадь:

 

Ответ:


Задача 4

Вычислить тройной интеграл по области , ограниченной указанными поверхностями.

Решение

Изобразим область  на чертеже:

Перейдем к цилиндрическим координатам:

 

Ответ:


Задача 5

Вычислить объем тела

Решение

Это полусфера радиусом

Перейдем к сферическим координатам:

 

 

Ответ: