Тройные интегралы в прямоугольных координатах

Краткая теория

Тройным интегралом от функции , распространенным на область , называется предел соответствующей трехкратной суммы:

Вычисление тройного интеграла сводится к последовательному вычислению трех обыкновенных (однократных) интегралов или к вычислению одного двойного и одного однократного.

Основные свойства тройных интегралов аналогичны свойствам двойных интегралов.

Объем тела в декартовых координатах выражается формулой:

Заказать решение задач, узнать цену:
или подписаться на телеграм-канал, чтобы не потерять контакты:

Примеры решения задач

Пример 1

Вычислить тройной интеграл:

Решение

Ответ:

Заказать решение задач, узнать цену:
или подписаться на телеграм-канал, чтобы не потерять контакты:

Пример 2

Вычислить объем тела, ограниченного данными поверхностями. Сделать чертежи данного тела и его проекции на плоскость .

Решение

Сделаем чертеж тела:

Проекция тела на :

Искомый объем тела будет выражаться интегралом:

Ответ:

Заказать решение задач, узнать цену:
или подписаться на телеграм-канал, чтобы не потерять контакты:

Пример 3

Вычислить объем тела, ограниченного заданными поверхностями:

Решение

Сделаем чертеж тела:

Проекция тела на :

Искомый объем тела будет выражаться интегралом:

Ответ:

Заказать решение задач, узнать цену:
или подписаться на телеграм-канал, чтобы не потерять контакты: