Тройные интегралы в прямоугольных координатах

Краткая теория


Тройным интегралом от функции , распространенным на область , называется предел соответствующей трехкратной суммы:

Вычисление тройного интеграла сводится к последовательному вычислению трех обыкновенных (однократных) интегралов или к вычислению одного двойного и одного однократного.

Основные свойства тройных интегралов аналогичны свойствам двойных интегралов.

Объем тела  в декартовых координатах  выражается формулой:

Примеры решения задач


Задача 1

Вычислить тройной интеграл:

Решение

 

Ответ:


Задача 2

Вычислить объем тела, ограниченного данными поверхностями. Сделать чертежи данного тела и его проекции на плоскость .

Решение

Если вам сейчас не требуется платная помощь с решением задач, контрольных работ и типовых расчетов, но может потребоваться в дальнейшем, то, чтобы не потерять контакт
вступайте в группу ВК
сохраните контакт WhatsApp (+79688494598)
сохраните контакт Телеграм (@helptask) .

Сделаем чертеж тела:

 

Проекция тела на :

 

Искомый объем тела будет выражаться интегралом:

 

Ответ:


Задача 3

Вычислить объем тела, ограниченного заданными поверхностями: 

Решение

Сделаем чертеж тела:

Проекция тела на :

 

Искомый объем тела будет выражаться интегралом: 

 

Ответ: