Двойной интеграл
Порядок интегрирования в двойном интеграле
Краткая теория
Двойным
интегралом от непрерывной функции
, распространенным на
ограниченную замкнутую область
плоскости
, называется предел
соответствующей двумерной интегральной суммы:
где
и сумма распространена на те значения
и
,
для которых точки
принадлежат области
.
Различают два основных вида области интегрирования.
1) Область интегрирования
ограничена слева и справа прямыми
и
(
)
а сверху и снизу непрерывными кривыми
и
,
каждая из которых пересекается с вертикалью
только в одной точке.
В области
переменная
меняется от
до
,
а переменная
при постоянном
меняется от
до
.
Вычисление интеграла может быть произведено путем сведения к повторному интегралу по формуле:
где при вычислении
величину
полагают постоянной.
2) Область интегрирования
снизу и сверху ограничена прямыми
и
(
),
а слева и справа непрерывными кривыми
и
,
каждая из которых пересекается с горизонталью
только в одно точке.
Аналогично предыдущему имеем:
где при вычислении интеграла
величина
считается постоянной.
Если область интегрирования не принадлежит ни к одному из разобранных выше видов, то ее стараются разбить на части, каждая из которых относится к одному из этих двух видов.
Площадь плоской области
равна:
Заказать решение задач, узнать цену: 
или подписаться на телеграм-канал, чтобы не потерять контакты: 
Примеры решения задач
Пример 1
Изменить порядок интегрирования. Изобразить область интегрирования.
Решение
Область интегрирования представляет собой область, ограниченную линиями:
и
Повторный интеграл с внешним
интегрированием по
:
Заказать решение задач, узнать цену:
или подписаться на телеграм-канал, чтобы не потерять контакты:
Пример 2
Расставить пределы интегрирования в двойном интеграле
в том и в другом порядке, если область
задана указанными линиями и вычислить площадь
этой области с помощью двойного интеграла.
Решение
Сделаем чертеж:
Интеграл с внешним интегрированием
по
:
Интеграл с внешним интегрированием
по
:
Искомая площадь:
Ответ:
Заказать решение задач, узнать цену:
или подписаться на телеграм-канал, чтобы не потерять контакты:
Пример 3
Вычислить двойной интеграл:
По
области
, ограниченной линиями:
Решение
Указанная область имеет следующий вид:
Получаем:
Ответ:
Заказать решение задач, узнать цену:
или подписаться на телеграм-канал, чтобы не потерять контакты:
Пример 4
Вычислить
двойной интеграл по области
, ограниченной указанными
линиями, переходя, где это необходимо, к полярным координатам.
где
Решение
Сделаем чертеж области
:
Искомый двойной интеграл:
Ответ:
Заказать решение задач, узнать цену:
или подписаться на телеграм-канал, чтобы не потерять контакты: