Двойной интеграл
Порядок интегрирования в двойном интеграле

Краткая теория


Двойным интегралом от непрерывной функции , распространенным на ограниченную замкнутую область  плоскости , называется предел соответствующей двумерной интегральной суммы:

где

и сумма распространена на те значения  и , для которых точки  принадлежат области .

Различают два основных вида области интегрирования.

 

1) Область интегрирования  ограничена слева и справа прямыми  и  ( )

а сверху и снизу непрерывными кривыми  и , каждая из которых пересекается с вертикалью  только в одной точке.

В области  переменная  меняется от  до , а переменная  при постоянном  меняется от  до .

Вычисление интеграла может быть произведено путем сведения к повторному интегралу по формуле:

где при вычислении

величину  полагают постоянной.

 

2) Область интегрирования  снизу и сверху ограничена прямыми  и  ( ), а слева и справа непрерывными кривыми  и , каждая из которых пересекается с горизонталью  только в одно точке.

Аналогично предыдущему имеем:

где при вычислении интеграла

величина  считается постоянной.

Если область интегрирования не принадлежит ни к одному из разобранных выше видов, то ее стараются разбить на части, каждая из которых относится к одному из этих двух видов.

Площадь плоской области  равна:

 

Примеры решения задач


Задача 1

Изменить порядок интегрирования. Изобразить область интегрирования.

Решение

 

Область интегрирования представляет собой область, ограниченную линиями:

  и

Повторный интеграл с внешним интегрированием по :


Задача 2

Расставить пределы интегрирования в двойном интеграле

 в том и в другом порядке, если область  задана указанными линиями и вычислить площадь этой области с помощью двойного интеграла.

Решение

Сделаем чертеж:

Интеграл с внешним интегрированием по :

Интеграл с внешним интегрированием по :

Искомая площадь:

 

Ответ:


Задача 3

Вычислить двойной интеграл:

По области , ограниченной линиями:

Решение

Если вам сейчас не требуется платная помощь с решением задач, контрольных работ и типовых расчетов, но может потребоваться в дальнейшем, то, чтобы не потерять контакт
вступайте в группу ВК
сохраните контакт WhatsApp (+79688494598)
сохраните контакт Телеграм (@helptask) .

Указанная область имеет следующий вид:

Получаем:

 

Ответ:


Задача 4

Вычислить двойной интеграл по области , ограниченной указанными линиями, переходя, где это необходимо, к полярным координатам.

где

Решение

Сделаем чертеж области :

 

Искомый двойной интеграл:

 

Ответ: