Платная помощь студентам - решение задач и контрольных работ

Помощь в решении ваших задач и контрольных вы можете найти, отправив сообщение ВКонтакте, WhatsApp, Viber или электроннной почтой.
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение с автором студенческих работ без посредников. Опыт работы более 20 лет.
Высшая математика и физика, теория вероятностей, линейное программирование, статистика, эконометрика, финансовая математика, методы и модели, оптимальные решения.
На цену сильно влияет срочность решения. Онлайн-помощь на экзамене/зачете (срок решения 1,5 часа и меньше) осуществляется по предварительной записи.

Двойной интеграл
Порядок интегрирования в двойном интеграле

Краткая теория

Двойным интегралом от непрерывной функции , распространенным на ограниченную замкнутую область  плоскости , называется предел соответствующей двумерной интегральной суммы:

где

и сумма распространена на те значения  и , для которых точки  принадлежат области .

Различают два основных вида области интегрирования.

 

1) Область интегрирования  ограничена слева и справа прямыми  и  ( )

а сверху и снизу непрерывными кривыми  и , каждая из которых пересекается с вертикалью  только в одной точке.

В области  переменная  меняется от  до , а переменная  при постоянном  меняется от  до .

Вычисление интеграла может быть произведено путем сведения к повторному интегралу по формуле:

где при вычислении

величину  полагают постоянной.

 

2) Область интегрирования  снизу и сверху ограничена прямыми  и  ( ), а слева и справа непрерывными кривыми  и , каждая из которых пересекается с горизонталью  только в одно точке.

Аналогично предыдущему имеем:

где при вычислении интеграла

величина  считается постоянной.

Если область интегрирования не принадлежит ни к одному из разобранных выше видов, то ее стараются разбить на части, каждая из которых относится к одному из этих двух видов.

Площадь плоской области  равна:

 

Примеры решения задач

Пример 1

Изменить порядок интегрирования. Изобразить область интегрирования.

Решение:

 

Область интегрирования представляет собой область, ограниченную линиями:

  и

Повторный интеграл с внешним интегрированием по :

 

 

Пример 2

Расставить пределы интегрирования в двойном интеграле

 в том и в другом порядке, если область  задана указанными линиями и вычислить площадь этой области с помощью двойного интеграла.

Решение:

Сделаем чертеж:

  

Интеграл с внешним интегрированием по :

Интеграл с внешним интегрированием по :

Искомая площадь:

Ответ:

 

Пример 3

Вычислить двойной интеграл:

По области , ограниченной линиями:

Решение:

Задали объемную контрольную? Скоро важный зачет/экзамен? Нет времени на выполнение работы или подготовку к зачету/экзамену, но есть деньги? На сайте 100task.ru можно заказать решение задач, контрольных или онлайн-помощь на зачете/экзамене ⟩⟩

Если вам сейчас не требуется помощь, но может потребоваться в дальнейшем, то, чтобы не потерять контакт, вступайте в группу ВК.

Указанная область имеет следующий вид:

Получаем:

Ответ:

Пример 4

Вычислить двойной интеграл по области , ограниченной указанными линиями, переходя, где это необходимо, к полярным координатам.

где

Решение:

Сделаем чертеж области :

 

Искомый двойной интеграл:

Ответ:

К оглавлению решебника по высшей математике