Двойной интеграл
Порядок интегрирования в двойном интеграле

Двойным интегралом от непрерывной функции , распространенным на ограниченную замкнутую область  плоскости , называется предел соответствующей двумерной интегральной суммы:

где

и сумма распространена на те значения  и , для которых точки  принадлежат области .

Различают два основных вида области интегрирования.

1) Область интегрирования  ограничена слева и справа прямыми  и  ( )

а сверху и снизу непрерывными кривыми  и , каждая из которых пересекается с вертикалью  только в одной точке.

В области  переменная  меняется от  до , а переменная  при постоянном  меняется от  до .

Вычисление интеграла может быть произведено путем сведения к повторному интегралу по формуле:

где при вычислении

величину  полагают постоянной.

2) Область интегрирования  снизу и сверху ограничена прямыми  и  ( ), а слева и справа непрерывными кривыми  и , каждая из которых пересекается с горизонталью  только в одно точке.

Аналогично предыдущему имеем:

где при вычислении интеграла

величина  считается постоянной.

Если область интегрирования не принадлежит ни к одному из разобранных выше видов, то ее стараются разбить на части, каждая из которых относится к одному из этих двух видов.

Площадь плоской области  равна: