Комплексные числа

Краткая теория

Комплексным числом  называется выражение вида , где  и   – действительные числа, а символ  удовлетворяет условию .

 Число  называется действительной частью комплексного числа и обозначается ,  – мнимой частью и обозначается ,  – мнимой единицей.

Комплексные числа  и  называется комплексно-сопряженными. Так, если , то .

Сложение, вычитание и умножение комплексным чисел, заданных в алгебраической форме, выполняются по правилам сложения, вычитания и умножения двучленов вида  с заменой каждый раз  на . Деление выполняется по формуле:

Геометрически комплексное число  изображается точкой  на координатной плоскости или радиус-вектором  этой точки.

Тригонометрическая форма комплексного числа  имеет вид:

где  – модуль числа ;  – его аргумент  – величина угла между положительным направлением оси  и радиусом-вектором  (см. рисунок), причем величина угла считается положительной, если отсчет ведется против часовой стрелки, и отрицательной – если по часовой стрелке.

Величина угла  определяется из системы уравнений:

Значение  (или ) обозначается  и называется главным.

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме

Если

то

то есть при умножении комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, их модули перемножаются, аргументы складываются, а при делении модули делятся, а аргументы вычитаются. Геометрический умножение данного комплексного числа на другое комплексное число, отличное от нуля, означает поворот радиус-вектора, изображающего данное число, против часовой стрелки на угол, равный аргументу другого числа. Аналогично деление означает поворот радиуса-вектора данного числа по часовой стрелке на угол, равный аргументу другого числа, и деление этого вектора на модуль другого числа.

При возведении в степень используется формула Муавра

Все значения корня степени  из комплексного числа  находятся по формуле

Показательная форма комплексного числа  имеет вид , где  – формула Эйлера.

Действия над комплексными числами в показательной форме

Если

то

Если

то

Примеры решения задач


Задача 1

Даны комплексные числа . Вычислить

 

Решение

Последовательно вычисляем:

Окончательно получаем:

 

Ответ:


Задача 2

1) Записать число  в алгебраической форме;

2) изобразить его на координатной плоскости;

3) записать число  в тригонометрической и показательной формах;

4) вычислить ;

5) найти все корни уравнения

Решение

1) Запишем число  в алгебраической форме:

Если вам сейчас не требуется платная помощь с решением задач, контрольных работ и типовых расчетов, но может потребоваться в дальнейшем, то, чтобы не потерять контакт
вступайте в группу ВК
сохраните контакт WhatsApp (+79688494598)
сохраните контакт Телеграм (@helptask) .

2) Изобразим число  на координатной плоскости:

3) Запишем число  в тригонометрической и показательной формах

Модуль комплексного числа:

Вектор  лежит в 4-й четверти. Аргумент комплексного числа:

Комплексное число в тригонометрической форме:

Комплексное число в показательной форме:

 

4) Возведем комплексное число в заданную степень:

 

5) Найдем корни уравнения   .

Получаем:

 

Тогда корни уравнения:


Задача 3

Даны три комплексных числа ,  и :

1) выполните действия в алгебраической, тригонометрической и показательной формах;

2) найдите расстояние между точками  и  на комплексной плоскости.

Решение

1) Запишем числа в тригонометрической форме:

Вектор   лежит в 2-й четверти

Число в показательной форме:  

Число в тригонометрической форме:

 

Вектор   лежит в 4-й четверти

Число в показательной форме:  

Число в тригонометрической форме:

 

Вектор   лежит в 3-й четверти

Число в показательной форме:  

Число в тригонометрической форме:

 

Выполним действия в алгебраической форме:

 

Выполним действия в тригонометрической форме:

 

Выполним действия в показательной форме:

2) Найдем расстояние между точками  и  на комплексной плоскости: