Экстремумы функций нескольких переменных
Функция
имеет
в точке
локальный
максимум (минимум), равный
, если существует такая -окрестность
этой точки, что для всех отличных от
точек
из
этой окрестности имеет место неравенство
Необходимые условия существования локального экстремума
Если функция
в
точке
имеет
локальный экстремум, то в этой точке обе частные производные, если они
существуют, равны нулю или хотя бы одна из них в этой точке не существует
(критические точки функции
).
Достаточные условия существования локального экстремума
Пусть
,
,
, тогда:
- Если
, то
имеет в точке
локальный экстремум (при
– локальный максимум, при
- минимум).
- Если
, то экстремума в точке
нет.
- Если
, то функция может иметь, а может и не иметь локальный экстремум.
Примеры решения задач
Задача 1
Исследовать на экстремум
функцию
:
Решение
Вычислим первые частные производные:
Для нахождения стационарных точек имеем систему уравнений:
Получили две стационарные точки
и
Находим частные производные 2-го порядка и вычисляем их значения в стационарных точках:
В точке
экстремума
нет
В точке
имеется минимум
Ответ:
Задача 2
Исследовать
на экстремум функцию
Решение
Вычислим первые частные производные:
Для нахождения стационарных точек имеем систему уравнений:
Получаем критическую точку:
Если по каким-либо причинам не справляетесь с решением задач, на портале можно заказать выполнение расчетной домашней работы, ИДЗ, РГР, контрольной и даже отдельных задач в разумные сроки. Чтобы вы смогли сделать заказ, я доступен по следующим каналам связи:
Контакты будут для вас
видны на территории
России и Беларуси
Общение без посредников. Удобная оплата переводом на банковскую карту. Опыт работы более 25 лет.
Подробное решение в формате электронного документа получите точно в срок или раньше.
Находим частные производные 2-го порядка и вычисляем их значения в стационарных точках:
В точке
экстремума нет
Задача 3
Найти экстремум функции нескольких переменных.
Решение
Вычислим первые частные производные:
Для нахождения стационарных точек имеем систему уравнений:
Получаем стационарную точку
Находим частные производные 2-го порядка и вычисляем их значения в стационарных точках:
В точке
имеется максимум
Ответ: