Экстремумы функций нескольких переменных

Краткая теория

Функция  имеет в точке  локальный максимум (минимум), равный , если существует такая -окрестность этой точки, что для всех отличных от  точек  из этой окрестности имеет место неравенство

Необходимые условия существования локального экстремума

Если функция  в точке  имеет локальный экстремум, то в этой точке обе частные производные, если они существуют, равны нулю или хотя бы одна из них в этой точке не существует (критические точки функции ).

Достаточные условия существования локального экстремума

Пусть , , , тогда:

  • Если , то  имеет в точке  локальный экстремум (при  – локальный максимум, при  - минимум).
  • Если , то экстремума в точке  нет.
  • Если , то функция может иметь, а может и не иметь локальный экстремум.

Примеры решения задач


Задача 1

Исследовать на экстремум функцию :

Решение

Вычислим первые частные производные:

Для нахождения стационарных точек имеем систему уравнений:  

Получили две стационарные точки  и

Находим частные производные 2-го порядка и вычисляем их значения в стационарных точках:

 

В точке  экстремума нет

 

В точке  имеется минимум

 

Ответ:


Задача 2

Исследовать на экстремум функцию

Решение

Вычислим первые частные производные:

Для нахождения стационарных точек имеем систему уравнений:  

Получаем критическую точку:

Если вам сейчас не требуется платная помощь с решением задач, контрольных работ и типовых расчетов, но может потребоваться в дальнейшем, то, чтобы не потерять контакт
вступайте в группу ВК
сохраните контакт WhatsApp (+79688494598)
сохраните контакт Телеграм (@helptask) .

Находим частные производные 2-го порядка и вычисляем их значения в стационарных точках:

В точке  экстремума нет


Задача 3

Найти экстремум функции нескольких переменных.

Решение

Вычислим первые частные производные:

Для нахождения стационарных точек имеем систему уравнений:  

Получаем стационарную точку

Находим частные производные 2-го порядка и вычисляем их значения в стационарных точках:

 

В точке  имеется максимум

 

Ответ: