Платная помощь студентам - решение задач и контрольных работ

Помощь в решении ваших задач и контрольных вы можете найти, отправив сообщение ВКонтакте, WhatsApp, Viber или электроннной почтой.
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение с автором студенческих работ без посредников. Опыт работы более 20 лет.
Высшая математика и физика, теория вероятностей, линейное программирование, статистика, эконометрика, финансовая математика, методы и модели, оптимальные решения.
На цену сильно влияет срочность решения. Онлайн-помощь на экзамене/зачете (срок решения 1,5 часа и меньше) осуществляется по предварительной записи.

Экстремумы функций нескольких переменных

Краткая теория

Функция  имеет в точке  локальный максимум (минимум), равный , если существует такая -окрестность этой точки, что для всех отличных от  точек  из этой окрестности имеет место неравенство

Необходимые условия существования локального экстремума

Если функция  в точке  имеет локальный экстремум, то в этой точке обе частные производные, если они существуют, равны нулю или хотя бы одна из них в этой точке не существует (критические точки функции ).

Достаточные условия существования локального экстремума

Пусть , , , тогда:

  • Если , то  имеет в точке  локальный экстремум (при  – локальный максимум, при  - минимум).
  • Если , то экстремума в точке  нет.
  • Если , то функция может иметь, а может и не иметь локальный экстремум.
Пример решения задачи

Задача 1

Исследовать на экстремум функцию :

Решение

Вычислим первые частные производные:

Для нахождения стационарных точек имеем систему уравнений:  

Получили две стационарные точки  и

Находим частные производные 2-го порядка и вычисляем их значения в стационарных точках:

 

В точке  экстремума нет

 

В точке  имеется минимум

Ответ:

Задача 2

Исследовать на экстремум функцию

Решение

Вычислим первые частные производные:

Для нахождения стационарных точек имеем систему уравнений:  

Получаем критическую точку:

Задали объемную контрольную? Скоро важный зачет/экзамен? Нет времени на выполнение работы или подготовку к зачету/экзамену, но есть деньги? На сайте 100task.ru можно заказать решение задач, контрольных или онлайн-помощь на зачете/экзамене ⟩⟩

Если вам сейчас не требуется помощь, но может потребоваться в дальнейшем, то, чтобы не потерять контакт, вступайте в группу ВК.

Находим частные производные 2-го порядка и вычисляем их значения в стационарных точках:

В точке  экстремума нет

 

Задача 3

Найти экстремум функции нескольких переменных.

Решение

Вычислим первые частные производные:

Для нахождения стационарных точек имеем систему уравнений:  

Получаем стационарную точку

Находим частные производные 2-го порядка и вычисляем их значения в стационарных точках:

 

В точке  имеется максимум

Ответ:

К оглавлению решебника по высшей математике