Экстремумы функций нескольких переменных

Краткая теория

Функция имеет в точке локальный максимум (минимум), равный , если существует такая -окрестность этой точки, что для всех отличных от точек из этой окрестности имеет место неравенство

Необходимые условия существования локального экстремума

Если функция в точке имеет локальный экстремум, то в этой точке обе частные производные, если они существуют, равны нулю или хотя бы одна из них в этой точке не существует (критические точки функции ).

Достаточные условия существования локального экстремума

Пусть , , , тогда:

Если , то имеет в точке локальный экстремум (при – локальный максимум, при - минимум).
Если , то экстремума в точке нет.
Если , то функция может иметь, а может и не иметь локальный экстремум.

Примеры решения задач

Задача 1

Исследовать на экстремум функцию :

Решение

Вычислим первые частные производные:

Для нахождения стационарных точек имеем систему уравнений:

Получили две стационарные точки и

Находим частные производные 2-го порядка и вычисляем их значения в стационарных точках:

В точке экстремума нет

В точке имеется минимум

Ответ:

Задача 2

Исследовать на экстремум функцию

Решение

Вычислим первые частные производные:

Для нахождения стационарных точек имеем систему уравнений:

Получаем критическую точку:

Если по каким-либо причинам не справляетесь с решением задач, на портале можно заказать выполнение расчетной домашней работы, ИДЗ, РГР, контрольной и даже отдельных задач в разумные сроки. Чтобы вы смогли сделать заказ, я доступен по следующим каналам связи:

Контакты будут для вас
видны на территории
России и Беларуси

Общение без посредников. Удобная оплата переводом на банковскую карту. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в формате электронного документа получите точно в срок или раньше.

Находим частные производные 2-го порядка и вычисляем их значения в стационарных точках:

В точке экстремума нет

Задача 3

Найти экстремум функции нескольких переменных.

Решение

Вычислим первые частные производные:

Для нахождения стационарных точек имеем систему уравнений:

Получаем стационарную точку

Находим частные производные 2-го порядка и вычисляем их значения в стационарных точках:

В точке имеется максимум

Ответ: