Экстремумы функций нескольких переменных
Краткая теория
Функция
имеет
в точке
локальный
максимум (минимум), равный
, если существует такая -окрестность
этой точки, что для всех отличных от
точек
из
этой окрестности имеет место неравенство
Необходимые условия существования локального экстремума
Если функция
в
точке
имеет
локальный экстремум, то в этой точке обе частные производные, если они
существуют, равны нулю или хотя бы одна из них в этой точке не существует
(критические точки функции
).
Достаточные условия существования локального экстремума
Пусть
,
,
, тогда:
- Если
, то
имеет
в точке
локальный
экстремум (при
– локальный
максимум, при
- минимум). - Если
, то экстремума в точке
нет. - Если
, то функция может иметь, а может и не иметь
локальный экстремум.
Заказать решение задач, узнать цену: 
или подписаться на телеграм-канал, чтобы не потерять контакты: 
Примеры решения задач
Пример 1
Исследовать на экстремум
функцию
:
Решение
Вычислим первые частные производные:
Для нахождения стационарных точек имеем систему уравнений:
Получили две стационарные точки
и
Находим частные производные 2-го порядка и вычисляем их значения в стационарных точках:
В точке
экстремума
нет
В точке
имеется минимум
Ответ:
Заказать решение задач, узнать цену:
или подписаться на телеграм-канал, чтобы не потерять контакты:
Пример 2
Исследовать
на экстремум функцию
Решение
Вычислим первые частные производные:
Для нахождения стационарных точек имеем систему уравнений:
Получаем критическую точку:
Находим частные производные 2-го порядка и вычисляем их значения в стационарных точках:
В точке
экстремума нет
Заказать решение задач, узнать цену:
или подписаться на телеграм-канал, чтобы не потерять контакты:
Пример 3
Найти экстремум функции нескольких переменных.
Решение
Вычислим первые частные производные:
Для нахождения стационарных точек имеем систему уравнений:
Получаем стационарную точку
Находим частные производные 2-го порядка и вычисляем их значения в стационарных точках:
В точке
имеется максимум
Ответ:
