Экстремумы функций нескольких переменных

Краткая теория

Функция имеет в точке локальный максимум (минимум), равный , если существует такая -окрестность этой точки, что для всех отличных от точек из этой окрестности имеет место неравенство

Необходимые условия существования локального экстремума

Если функция в точке имеет локальный экстремум, то в этой точке обе частные производные, если они существуют, равны нулю или хотя бы одна из них в этой точке не существует (критические точки функции ).

Достаточные условия существования локального экстремума

Пусть , , , тогда:

Если , то имеет в точке локальный экстремум (при – локальный максимум, при - минимум).
Если , то экстремума в точке нет.
Если , то функция может иметь, а может и не иметь локальный экстремум.

Примеры решения задач

Задача 1

Исследовать на экстремум функцию :

Решение

Вычислим первые частные производные:

Для нахождения стационарных точек имеем систему уравнений:

Получили две стационарные точки и

Находим частные производные 2-го порядка и вычисляем их значения в стационарных точках:

В точке экстремума нет

В точке имеется минимум

Ответ:

Задача 2

Исследовать на экстремум функцию

Решение

Вычислим первые частные производные:

Для нахождения стационарных точек имеем систему уравнений:

Получаем критическую точку:

На сайте можно заказать решение задач, контрольных, самостоятельных, домашних работ (возможно срочное решение), а также онлайн-помощь на экзамене или зачете. Для этого вам нужно только связаться со мной 24/7:

Телеграм @helptask
ВКонтакте (vk.com/task100)
WhatsApp +7 (968) 849-45-98

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту. Срок решения - от 1 часа. Цена - от 200 рублей.

Подробное решение получите точно в срок или раньше.

Находим частные производные 2-го порядка и вычисляем их значения в стационарных точках:

В точке экстремума нет

Задача 3

Найти экстремум функции нескольких переменных.

Решение

Вычислим первые частные производные:

Для нахождения стационарных точек имеем систему уравнений:

Получаем стационарную точку

Находим частные производные 2-го порядка и вычисляем их значения в стационарных точках:

В точке имеется максимум

Ответ: