Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области

Краткая теория

Схема нахождения наибольшего и наименьшего значений функции в замкнутой ограниченной области :

    Строим область . Выделяем все части границы области и находим все угловые точки границы. Находим стационарные точки внутри  из условия: Находим стационарные точки на каждой границе области . Вычисляем значения функции в стационарных точках внутри и на границе области . Вычисляем значения функции во всех стационарных и угловых точках, а затем выбираем наибольшее и наименьшее значения.
Примеры решения задач

Задача 1

Найти наибольшее и наименьшее значение в области , ограниченной заданными линиями.

Решение

Область  показана на рисунке:

  

Найдем стационарные точки:

Частные производные:  

Приравняем найденные частные производные к нулю и решим систему уравнений:

Области  принадлежит точка

 

Исследуем функцию на границах области :

при :  

Приравниваем производную к нулю:

Находим значения функции:

 

При

Приравниваем производную к нулю:

Находим значения функции:

 

при

Приравниваем производную к нулю:

Находим значения функции:

Если вам сейчас не требуется платная помощь с решением задач, контрольных работ и типовых расчетов, но может потребоваться в дальнейшем, то, чтобы не потерять контакт
вступайте в группу ВК
сохраните контакт WhatsApp (+79688494598)
сохраните контакт Телеграм (@helptask) .

Сопоставляя полученные значения, получаем:


Задача 2

Найти наименьшее и наибольшее значения функции  в указанной области. Сделать чертеж области.

  в круге

Решение

Область  показана на рисунке:

Найдем стационарные точки:

Стационарных точек функция не имеет

Исследуем функцию на границах области:

 

при

Приравниваем производную к нулю:

Значение  в найденной точке:

Находим значения функции:

 

при

Приравниваем производную к нулю:

Значение  в найденной точке:

Находим значения функции:

Сопоставляя полученные значения, находим:

 в точке

 в точке