Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области

Краткая теория
Примеры решения задач

Краткая теория

Схема нахождения наибольшего и наименьшего значений функции в замкнутой ограниченной области :

Строим область

. Выделяем все части границы области и находим все угловые точки границы.

Находим стационарные точки внутри

из условия:

Находим стационарные точки на каждой границе области

Вычисляем значения функции в стационарных точках внутри и на границе области

Вычисляем значения функции во всех стационарных и угловых точках, а затем выбираем наибольшее и наименьшее значения.

Заказать решение задач, узнать цену:
или подписаться на телеграм-канал, чтобы не потерять контакты:

Примеры решения задач

Пример 1

Найти наибольшее и наименьшее значение в области , ограниченной заданными линиями.

Решение

Область показана на рисунке:

Найдем стационарные точки:

Частные производные:

Приравняем найденные частные производные к нулю и решим систему уравнений:

Области принадлежит точка

Исследуем функцию на границах области :

при :

Приравниваем производную к нулю:

Находим значения функции:

При

Приравниваем производную к нулю:

Находим значения функции:

при

Приравниваем производную к нулю:

Находим значения функции:

Сопоставляя полученные значения, получаем:

Заказать решение задач, узнать цену:
или подписаться на телеграм-канал, чтобы не потерять контакты:

Пример 2

Найти наименьшее и наибольшее значения функции в указанной области. Сделать чертеж области.

в круге

Решение

Область показана на рисунке:

Найдем стационарные точки:

Стационарных точек функция не имеет

Исследуем функцию на границах области:

при

Приравниваем производную к нулю:

Значение в найденной точке:

Находим значения функции:

при

Приравниваем производную к нулю:

Значение в найденной точке:

Находим значения функции:

Сопоставляя полученные значения, находим:

в точке

Заказать решение задач, узнать цену:
или подписаться на телеграм-канал, чтобы не потерять контакты:

Краткая теория
Примеры решения задач