Платная помощь студентам - решение задач и контрольных работ

Помощь в решении ваших задач и контрольных вы можете найти, отправив сообщение ВКонтакте, WhatsApp, Viber или электроннной почтой.
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение с автором студенческих работ без посредников. Опыт работы более 20 лет.
Высшая математика и физика, теория вероятностей, линейное программирование, статистика, эконометрика, финансовая математика, методы и модели, оптимальные решения.
На цену сильно влияет срочность решения. Онлайн-помощь на экзамене/зачете (срок решения 1,5 часа и меньше) осуществляется по предварительной записи.

Задачи линейного программирования

Краткая теория

Линейное программирование — область математики, разрабатывающая теорию и численные методы решения задач нахождения экстремума (максимума или минимума) линейной функции многих переменных при наличии линейных ограничений, т. е. равенств или неравенств, связывающих эти переменные.

Методы линейного программирования применяют к практическим задачам, в которых:

  • необходимо выбрать наилучшее решение (оптимальный план) из множества возможных;
  • решение можно выразить как набор значений некоторых переменных величин;
  • ограничения, накладываемые на допустимые решения специфическими условиями задачи, формулируются в виде линейных уравнений или неравенств;
  • цель выражается в форме линейной функции основных переменных. Значения целевой функции, позволяя сопоставлять различные решения, служат критерием качества решения.

Для практического решения экономической задачи математическими методами ее прежде всего следует записать с помощью математических выражений: уравнений, неравенств и тому подобное, то есть составить экономико-математическую модель. Исходя из отмеченных выше особенностей задач линейного программирования, можно наметить следующую общую схему формирования модели:

  • выбор некоторого числа переменных величин, заданием числовых значений которых однозначно определяется одно из возможных состояний исследуемого явления;
  • выражение взаимосвязей, присущих исследуемому явлению, в виде математических соотношений (уравнений, неравенств); эти соотношения образуют систему ограничений задачи;
  • количественное выражение выбранного критерия оптимальности в форме целевой функции;
  • математическая формулировка задачи как задачи отыскания экстремума целевой функции при условии выполнения ограничений, накладываемых на переменные.

Модель задачи линейного программирования может быть записана в одной из приведенных ниже форм:

1. Общая или произвольная форма записи задачи линейного программирования:

при ограничениях:

 

 – произвольные

 

2.  Симметричная или стандартная форма записи задачи линейного программирования:

 

 

3. Каноническая или основная форма записи задачи линейного программирования:

Указанные выше три формы записи ЗЛП эквивалентны в том смысле, что каждая из них с помощью несложных преобразований может быть сведена к другой форме, то есть если имеется способ нахождения оптимального решения задачи в одной из указанных форм, то тем самым может быть определен оптимальный план задачи в любой другой форме (говорят о стратегической эквивалентности задачи в любой из форм).

Так, при необходимости задачу минимизации можно заменить задачей максимизации, и наоборот.

Неравенство типа  путем умножения левых и правых частей на -1 можно превратить в неравенство типа  и наоборот. Ограничения-неравенства

преобразуются в ограничения-равенства путем прибавления (вычитания) к левым частям дополнительных (балансовых) неотрицательных переменных :

В случае необходимости ограничение-равенство

можно записать в виде системы неравенств:

Если в задаче линейного программирования какая-то переменная  не подчинена условию неотрицательности, ее заменяют разностью двух других неотрицательных переменных  и :

Способы решения задач линейного программирования подробно рассмотрены на соседних страницах сайта:

Примеры задач

Задача 1

Имеются корма двух видов и силос. Их можно использовать для кормления скота в количестве не более 50 и 80 кг соответственно. Стоимость 1 кг сена -12 ден.ед., а силоса -8 ден.ед. Составить кормовой рацион минимальной стоимости. Данные приведены в таблице:

Питательные вещества Корма Минимальное содержание питательных веществ
Сено Силос
Кормовые ед., кг 0,5 0,3 30
Протеин, г 40 10 1000
Кальций, г 1,25 2,5 100
Фосфор, г 2 1 80

Решение

Через  и  обозначим количество сена и силоса соответственно. Тогда целевая функция, выражающая стоимость рациона:

Ограничения:

Кроме того, по смыслу задачи:

Получаем следующую задачу линейного программирования:

Задача 2

Построить экономико-математическую модель задачи и найти оптимальный план раскроя с точки зрения минимизации отходов.

Куски искусственной кожи по 60 дм разрезать на части по 20 дм, 25 дм и 30 дм так, чтобы частей по 20 дм было не менее 6 штук, частей по 25 дм было не менее 10 штук и частей по 30 дм было не менее 4 штук.

Решение

Задали объемную контрольную? Скоро важный зачет/экзамен? Нет времени на выполнение работы или подготовку к зачету/экзамену, но есть деньги? На сайте 100task.ru можно заказать решение задач, контрольных или онлайн-помощь на зачете/экзамене ⟩⟩

Если вам сейчас не требуется помощь, но может потребоваться в дальнейшем, то, чтобы не потерять контакт, вступайте в группу ВК.

Способы раскроя Количество  заготовок 1-го вида (20 дм) Количество заготовок 2-го вида (25 дм) Количество заготовок 3-го вида (30 дм) Количество отходов
I 3 ----- ----  
II ---- 2 ----  
III --- ---- 2  
IV --- 1 1  
V 1 ---- 1
VI 1 1 ----
План 6 10 4  

Обозначим через  искомые величины количества заготовок из кожи,  раскраиваемых соответствующим образом.

Тогда целевая функция экономико-математической модели:

Экономико-математическая модель имеет следующие ограничения:

Кроме того, по смыслу задачи:

Задача 3

Составить экономико-математическую модель задачи линейного программирования.

Найти оптимальное сочетание посевов трех культур: пшеницы, гречихи и картофеля. Эффективность возделывания названных культур (в расчете на 1 га) характеризуется показателями, значения которых приведены в таблице. Производственные ресурсы: 6000 га пашни, 5000 чел.-дней труда механизаторов, 9000 чел.-дней ручного труда. Критерий оптимальности – максимум прибыли.

Показатель Пшеница Гречиха Картофель
Урожайность, ц 20 10 100
Затраты механизаторов, чел.-дней 0.5 1 5
Затраты ручного труда, чел.дней 0.5 0.5 20
Прибыль от реализации 1 ц продукции, ден.ед. 4 10 3

Решение

Через  и  обозначим количество собираемой пшеницы, гречихи и картофеля соответственно.

Тогда ограничение на количество пашни:

Ограничение на затраты труда механизаторов:

Ограничения на затраты ручного труда:

Кроме того, по смыслу задачи: 

Целевая функция, выражающая получаемую от реализации прибыль:

Получаем следующую экономико-математическую модель:

К оглавлению решебника по методам оптимальных решений