Платная помощь студентам - решение задач и контрольных работ

Помощь в решении ваших задач, домашних работ и контрольных вы можете найти, отправив сообщение ВКонтакте, WhatsApp, Telegram или электроннной почтой, сообщив необходимые вам сроки решения и скинув условие.
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение с автором студенческих работ без посредников. Опыт работы более 20 лет.
Высшая математика и физика, теория вероятностей, линейное программирование, статистика, эконометрика, финансовая математика, методы и модели, оптимальные решения.
На цену сильно влияет срочность решения. Онлайн-помощь на экзамене/зачете (срок решения 1,5 часа и меньше) осуществляется по предварительной записи.

Разложение функций по степеням в ряд Тейлора и ряд Маклорена

Краткая теория

Если функция  допускает в некоторой окрестности  точки  разложение в степенной ряд по степеням , то этот ряд (ряд Тейлора) имеет вид

При  ряд Тейлора называют также рядом Маклорена. Последнее равенство справедливо, если при  остаточный член ряда Тейлора

при

Для оценки остаточного члена можно пользоваться формулой (форма Лагранжа)

Пример решения задачи

Разложить функцию  в ряд по степеням .

Задали объемную домашнюю работу или контрольную? Скоро важный зачет/экзамен? Нет времени на выполнение работы или подготовку к зачету/экзамену, но есть деньги? На сайте 100task.ru можно заказать решение задач, домашних работ, контрольных или онлайн-помощь на зачете/экзамене ⟩⟩

Если вам сейчас не требуется помощь, но может потребоваться в дальнейшем, то, чтобы не потерять контакт, вступайте в группу ВК.

Находим производные данной функции:

….

Вообще , если  – четное, и , если  – нечетное

Полагая  получаем:

….

Вообще , если  – четное, и , если  – нечетное

На основании формулы разложения в ряд Тейлора имеем:

Для определения интервала сходимости ряда применим признак Даламбера.

при любом . Следовательно, ряд сходится в интервале . Остаточный член имеет вид:

Так как , то

Поэтому:

Ряд с общим членом  сходится при любом  (в этом можно убедиться с помощью признака Даламбера), поэтому в соответствии с необходимым признаком сходимости:

а следовательно, при любом .

Это значит, что сумма ряда для любого  действительно равна .

Разложение основных функций в степенной ряд Маклорена

Пользуясь основными разложениями, а также формулой для геометрической прогрессии, можно во многих случаях просто получать разложение данной функции в степенной ряд, причем отпадает необходимость исследования остаточного члена. Иногда при разложении полезно использовать почленное дифференцирование или интегрирование. При разложении в степенные ряды рациональных функций рекомендуется разлагать эти функции на простейшие дроби.

I.  Бесконечная убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем .

 

II.  Разложение экспоненты в ряд Маклорена

 

III. Разложение синуса в ряд Маклорена

 

IV. Разложение косинуса в ряд Маклорена

 

V.  Биномиальный ряд

 

VI.

 

VII. Разложение арктангенса в ряд Маклорена

К оглавлению решебника по высшей математике