Разложить функцию
в ряд по степеням
.
Если сроки со сдачей контрольной работы поджимают, то тогда за деньги на сайте можно выполнить вашу контрольную работу по высшей математике.
Находим производные данной функции:



….
Вообще
,
если
– четное, и
,
если
– нечетное
Полагая
получаем:



….
Вообще
,
если
– четное, и
,
если
– нечетное
На основании формулы разложения в ряд Тейлора имеем:

Для определения интервала сходимости ряда применим признак
Даламбера.

при любом
.
Следовательно, ряд сходится в интервале
.
Остаточный член имеет вид:


Так как
,
то

Поэтому:

Ряд с общим членом
сходится при любом
(в этом можно убедиться с помощью признака
Даламбера), поэтому в соответствии с необходимым признаком сходимости:

а следовательно, при любом
.

Это значит, что сумма ряда для любого
действительно равна
.
Пользуясь основными разложениями, а также формулой для
геометрической прогрессии, можно во многих случаях просто получать разложение
данной функции в степенной ряд, причем отпадает необходимость исследования
остаточного члена. Иногда при разложении полезно использовать почленное дифференцирование или интегрирование. При
разложении в степенные ряды рациональных функций рекомендуется разлагать эти
функции на простейшие дроби.
I.
Бесконечная убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем
.

II.
Разложение экспоненты в ряд Маклорена

III. Разложение синуса в ряд Маклорена
IV. Разложение косинуса в ряд Маклорена
V. Биномиальный ряд
VI.
VII. Разложение арктангенса в ряд Маклорена