Разложение функций по степеням в ряд Тейлора и ряд Маклорена

Краткая теория

Если функция допускает в некоторой окрестности точки разложение в степенной ряд по степеням , то этот ряд (ряд Тейлора) имеет вид

При ряд Тейлора называют также рядом Маклорена. Последнее равенство справедливо, если при остаточный член ряда Тейлора

при

Для оценки остаточного члена можно пользоваться формулой (форма Лагранжа)

Разложение основных функций в степенной ряд Маклорена

Пользуясь основными разложениями, а также формулой для геометрической прогрессии, можно во многих случаях просто получать разложение данной функции в степенной ряд, причем отпадает необходимость исследования остаточного члена. Иногда при разложении полезно использовать почленное дифференцирование или интегрирование. При разложении в степенные ряды рациональных функций рекомендуется разлагать эти функции на простейшие дроби.

I. Бесконечная убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем .

II. Разложение экспоненты в ряд Маклорена

III. Разложение синуса в ряд Маклорена

IV. Разложение косинуса в ряд Маклорена

V. Биномиальный ряд

VI. Разложение в ряд Макклорена функции ln(1+x)

VII. Разложение арктангенса в ряд Маклорена

Пример решения задачи

Задача

Разложить функцию в ряд по степеням .

Решение

Если вам сейчас не требуется платная помощь с решением задач, контрольных работ и типовых расчетов, но может потребоваться в дальнейшем, то, чтобы не потерять контакт
вступайте в группу ВК
сохраните контакт WhatsApp (+79688494598)
сохраните контакт Телеграм (@helptask) .

Находим производные данной функции:

….

Вообще , если – четное, и , если – нечетное

Полагая получаем:

….

Вообще , если – четное, и , если – нечетное

На основании формулы разложения в ряд Тейлора имеем:

Для определения интервала сходимости ряда применим признак Даламбера.

при любом . Следовательно, ряд сходится в интервале . Остаточный член имеет вид:

Так как , то

Поэтому:

Ряд с общим членом сходится при любом (в этом можно убедиться с помощью признака Даламбера), поэтому в соответствии с необходимым признаком сходимости:

а следовательно, при любом .

Это значит, что сумма ряда для любого действительно равна .