Разложить функцию
в ряд по степеням
.
Задали объемную контрольную? Скоро важный зачет/экзамен? Нет времени на выполнение работы или подготовку к зачету/экзамену, но есть деньги? На сайте 100task.ru можно заказать решение задач, контрольных или онлайн-помощь на зачете/экзамене ⟩⟩
Если вам сейчас не требуется помощь, но может потребоваться в дальнейшем, то, чтобы не потерять контакт, вступайте в группу ВК.
Находим производные данной функции:
….
Вообще
,
если
– четное, и
,
если
– нечетное
Полагая
получаем:
….
Вообще
,
если
– четное, и
,
если
– нечетное
На основании формулы разложения в ряд Тейлора имеем:
Для определения интервала сходимости ряда применим признак
Даламбера.
при любом
.
Следовательно, ряд сходится в интервале
.
Остаточный член имеет вид:
Так как
,
то
Поэтому:
Ряд с общим членом
сходится при любом
(в этом можно убедиться с помощью признака
Даламбера), поэтому в соответствии с необходимым признаком сходимости:
а следовательно, при любом
.
Это значит, что сумма ряда для любого
действительно равна
.
Пользуясь основными разложениями, а также формулой для
геометрической прогрессии, можно во многих случаях просто получать разложение
данной функции в степенной ряд, причем отпадает необходимость исследования
остаточного члена. Иногда при разложении полезно использовать почленное дифференцирование или интегрирование. При
разложении в степенные ряды рациональных функций рекомендуется разлагать эти
функции на простейшие дроби.
I.
Бесконечная убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем
.
II.
Разложение экспоненты в ряд Маклорена
III. Разложение синуса в ряд Маклорена
IV. Разложение косинуса в ряд Маклорена
V. Биномиальный ряд
VI.
VII. Разложение арктангенса в ряд Маклорена
К оглавлению решебника по высшей математике ⟩