Разложение функций по степеням в ряд Тейлора и ряд Маклорена

Если функция  допускает в некоторой окрестности  точки  разложение в степенной ряд по степеням , то этот ряд (ряд Тейлора) имеет вид

При  ряд Тейлора называют также рядом Маклорена. Последнее равенство справедливо, если при  остаточный член ряда Тейлора

при

Для оценки остаточного члена можно пользоваться формулой (форма Лагранжа)

Пользуясь основными разложениями, а также формулой для геометрической прогрессии, можно во многих случаях просто получать разложение данной функции в степенной ряд, причем отпадает необходимость исследования остаточного члена. Иногда при разложении полезно использовать почленное дифференцирование или интегрирование. При разложении в степенные ряды рациональных функций рекомендуется разлагать эти функции на простейшие дроби.

I. Бесконечная убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем .

II. Разложение экспоненты в ряд Маклорена

III. Разложение синуса в ряд Маклорена

IV. Разложение косинуса в ряд Маклорена

V.  Биномиальный ряд

VI. Разложение в ряд Макклорена функции ln(1+x)

VII. Разложение арктангенса в ряд Маклорена