Сходимость степенного ряда.
Радиус и область сходимости степенного ряда

Функциональным рядом называется ряд вида:

где  – функции, определенные на некотором множестве .

Множество  всех точек сходимости ряда (*) называется его областью сходимости.

В области сходимости   определены функции:

( n-я частичная сумма ряда)

(сумма ряда)

(остаток ряда)

Ряд

называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд

Из всех функциональных рядов наиболее часто применяют степенные ряды, которыми называют ряды вида

Действительные числа  называют коэффициентами ряда.

Неотрицательное число , такое, что ряд (**) сходится в интервале  и расходится вне этого интервала, называется радиусом сходимости этого ряда, а интервал  – интервалом сходимости ряда.

Радиус сходимости степенного ряда можно найти по формулам:

или

Свойства степенных рядов

1. Сумма степенного ряда при всех значениях  из интервала сходимости есть непрерывная функция.

2. Степенной ряд в его интервале сходимости можно почленно дифференцировать, то есть:

3. Степенной ряд можно интегрировать по любому отрезку, содержащемуся в интервале сходимости, причем: