Условная и абсолютная сходимость ряда
Краткая теория
Числовой ряд
содержащий как положительные, так и отрицательные члены, называется знакопеременным. Такой ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд
составленный из модулей его членов, и условно (неабсолютно) сходящимся, если ряд (*) сходится, а ряд (**) расходится.
Из сходимости ряда (**) следует сходимость ряда (*), но из расходимости ряда (**) не следует расходимость ряда (*).
Ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки, называется знакочередующимся. Такой ряд записывают в виде:
или если первый член отрицателен
Признак Лейбница
Если члены ряда (***) таковы, что
и
то ряд сходится, причем его сумма
Остаток
,
удовлетворяющего условиям признака Лейбница, оценивается с помощью неравенства
Для сходимости знакочередующегося ряда не достаточно, чтобы его общий член стремился к нулю. Признак Лейбница утверждает лишь, что знакочередующийся ряд сходится, если абсолютная величина общего члена ряда стремится к нулю монотонно.
С другой стороны, для сходимости знакочередующегося ряда выполнение признака Лейбница не необходимо – знакочередующийся ряд может сходиться, если абсолютная величина его общего члена стремится к нулю не монотонно.
Заказать решение задач, узнать цену: 
или подписаться на телеграм-канал, чтобы не потерять контакты: 
Примеры решения задач
Задача
Исследовать знакопеременный ряд на абсолютную и условную сходимость.
Решение
Исследуем ряд на абсолютную сходимость.
Ряд, составленный из абсолютных величин членов знакочередующегося ряда:
Воспользуемся предельным признаком сходимости:
Гармоническим ряд
расходится
Предел конечный и отличный от нуля – ряды одновременно расходятся.
Исследуем ряд на условную сходимость:
Кроме того
По признаку Лейбница для знакочередующихся рядов ряд сходится
Ответ: сходится условно.
Заказать решение задач, узнать цену:
или подписаться на телеграм-канал, чтобы не потерять контакты: