Условная и абсолютная сходимость ряда

Краткая теория

Числовой ряд

содержащий как положительные, так и отрицательные члены, называется знакопеременным. Такой ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд

составленный из модулей его членов, и условно (неабсолютно) сходящимся, если ряд (*) сходится, а ряд (**) расходится.

Из сходимости ряда (**) следует сходимость ряда (*), но из расходимости ряда (**) не следует расходимость ряда (*).

Ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки, называется знакочередующимся. Такой ряд записывают в виде:

или если первый член отрицателен

Признак Лейбница

Если члены ряда (***)  таковы, что

и

то ряд сходится, причем его сумма

Остаток , удовлетворяющего условиям признака Лейбница, оценивается с помощью неравенства

Для сходимости знакочередующегося ряда не достаточно, чтобы его общий член стремился к нулю. Признак Лейбница утверждает лишь, что знакочередующийся ряд сходится, если абсолютная величина общего члена ряда стремится к нулю монотонно.

С другой стороны, для сходимости знакочередующегося ряда выполнение признака Лейбница не необходимо – знакочередующийся ряд может сходиться, если абсолютная величина его общего члена стремится к нулю не монотонно.

Пример решения задачи

Задача

Исследовать знакопеременный ряд на абсолютную и условную сходимость.

Решение

Если вам сейчас не требуется платная помощь с решением задач, контрольных работ и типовых расчетов, но может потребоваться в дальнейшем, то, чтобы не потерять контакт
вступайте в группу ВК
сохраните контакт WhatsApp (+79688494598)
сохраните контакт Телеграм (@helptask) .

Исследуем ряд на абсолютную сходимость.

Ряд, составленный из абсолютных величин членов знакочередующегося ряда:

Воспользуемся предельным признаком сходимости:

Гармоническим ряд

расходится

Предел конечный и отличный от нуля – ряды одновременно расходятся.

Исследуем ряд на условную сходимость:

Кроме того

По признаку Лейбница для знакочередующихся рядов ряд сходится

Ответ: сходится условно.