Потенциальное и соленоидальное поле
Дивергенция и ротор поля

Ротор поля

Если векторное поле дифференцируемо в точке , то ротором (или вихрем) векторного поля в точке называется вектор:

где частные производные вычислены в этой точке.

В символической форме ротор записывается так:

Векторное поле называется безвихревым в области , если в каждой ее точке

Потенциальное поле и его потенциал

Векторное поле , заданное в области , называется потенциальным , если в области существует такая скалярная функция , что вектор можно представить в виде градиента этой функции:

Функция называется потенциальной функцией или потенциалом векторного поля. (Для силовых линий функция называется силовой функцией, а функция - потенциалом).

Если векторное поле потенциально в области , то для его задания достаточно одной скалярной функции - потенциала этого поля, так как из формулы следует, что в этом случае:

отсюда:

Таким образом, если векторное поле потенциально, выражение есть полный дифференциал этого поля. Критерий потенциальности следующий:

Для того, чтобы дифференцируемое векторное поле , заданное в области , было потенциальным, необходимо и достаточно, чтобы во всех точках этой области выполнялось условие:

В области существует потенциал , который может быть определен с точностью до произвольного постоянного слагаемого по формуле:

где - любая фиксированная точка; - переменная точка в области ; - произвольная постоянная. Во втором интеграле этой формулы постоянно , а в третьем - и .

Дивергенция поля

Дивергенцией векторного поля в точке называется предел отношения потока поля через замкнутую поверхность , окружающую точку , к объему тела, ограниченного этой поверхностью, при стремлении диаметра тела к нулю:

По знаку дивергенции можно судить о наличии источника или стока векторного поля в рассматриваемой точке . Так, если , то в точке - источник, а если - то сток. Если же , то источников и стоков в точке нет.

Соленоидальное поле

Если векторное поле дифференцируемо в области , то в любой точке существует , причем:

где частные производные вычислены в точке .

Векторное поле называется соленоидальным (или трубчатым) в области , если его дивергенция равна нулю в каждой точке области.

Смежные темы решебника:

• Градиент функции и производная по направлению вектора
• Дифференциальные уравнения

Заказать решение задач, узнать цену:
или подписаться на телеграм-канал, чтобы не потерять контакты: