Помощь студентам - решение задач и контрольных работ

Помощь в решении ваших задач вы можете найти, отправив сообщение ВКонтакте, WhatsApp, Telegram или Viber.
Возможно срочное решение - от суток до нескольких часов, онлайн-помощь на экзамене.
Заполнение формы с личными данными и регистрация на сайте не нужны. Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение с автором студенческих работ без посредников. Опыт работы более 20 лет.
Стоимость решения контрольной работы начинается от 50 р. за задачу (но не менее 300 р. за весь заказ).

Аналитическое выравнивание ряда динамики по прямой

Краткая теория

Одной из задач, возникающих при анализе рядов динамики, является установление закономерности изменения уровней изучаемого показателя во времени. В некоторых случаях эта закономерность, общая тенденция развития объекта вполне ясно отображается уровнями динамического ряда. Но часто приходится встречаться с такими рядами динамики, когда уровни ряда претерпевают самые различные изменения (то возрастают, то убывают) и можно говорить лишь об общей тенденции развития явления, либо о тенденции к росту, либо к снижению. В этих случаях для определения основной тенденции развития явления, достаточно устойчивой на протяжении данного периода, используют особые приемы обработки рядов динамики.

Уровни ряда динамики формируются под совокупным влиянием множества длительно и кратковременно действующих факторов и в том числе различного рода случайных обстоятельств.

Выявление основной закономерности изменения уровней ряда предполагает ее количественное выражение, в некоторой мере свободное от случайных воздействий. Выявление основной тенденции развития (тренда) называется в статистике также выравниванием временного ряда, а методы выявления основной тенденции - методами выравнивания. Выравнивание позволяет характеризовать особенность изменения во времени данного динамического ряда в наиболее общем виде как функцию времени, предполагая, что через время можно выразить влияние всех основных факторов.

Приемы сглаживания динамических рядов (укрупнение интервала и метод скользящей средней) могут рассматриваться как важное вспомогательное средство, облегчающее применение других методов и, в частности, более строгих методов выявления тенденции. Для того чтобы представить количественную модель, выражающую общую тенденцию изменений уровней динамического ряда во времени, используется аналитическое выравнивание ряда динамики.

В этом случае фактические уровни заменяются уровнями, вычисленными на основе определенной кривой. Предполагается, что она отражает общую тенденцию изменения во времени изучаемого показателя.

При аналитическом выравнивании ряда динамики закономерно изменяющийся уровень изучаемого показателя оценивается как функция времени , Где - уровни динамического ряда, вычисленные по соответствующему аналитическому уравнению на момент времени t.

При выборе формы уравнения следует исходить и из объема имеющейся информации. Чем больше параметров содержит уравнение тренда, тем больше должно быть наблюдений при одной и той же степени надежности оценивания. Выбор формы кривой может осуществляться: и на основе принятого критерия, в качестве которого может служить сумма квадратов отклонений фактических значений от значений, рассчитанных по уравнению тренда. Из совокупности кривых выбирается та, которой соответствует минимальное значение критерия. Рассмотрим аналитическое выравнивание ряда динамики по прямой, т.е. аналитическое уравнение вида:

где  -порядковый номер периодов или моментов времени.

Параметры  и  прямой рассчитываются по методу наименьших квадратов (МНК). Система нормальных уравнений в данном случае имеет вид:

Поиск параметров уравнения можно упростить, если отсчет времени производить так, чтобы сумма показателей времени изучаемого ряда динамики была равна нулю . При нечетном числе уровней ряда динамики уровень, находящийся в середине ряда, принимается за условное начало отчета времени (этому периоду или моменту времени придается нулевое значение). Даты времени, стоящие выше этого уровня, обозначаются натуральными числами со знаками минус, а ниже -натуральными числами со знаками плюс.

При условии  получим:

Правильность расчета уровней выравниваемого ряда динамики может быть проверена следующим образом: сумма значений эмпирического ряда должна совпадать с суммой вычисленных уровней выровненного ряда, т.е.

Аналитическое уравнение представляет собой математическую модель развития явления и дает выражение статистической закономерности, проявляющейся в рядах динамики. Следует помнить, что прием аналитического выравнивания содержит в себе ряд условностей, связанных прежде всего с тем, что уровни, характеризующие тот или иной динамический ряд, рассматриваются как функция времени. В действительности же развитие явлений обусловлено не тем, сколько времени прошло с отправного момента, а тем, какие факторы влияли на развитие, в каком направлении и с какой интенсивностью. Развитие явлений во времени выступает как внешнее выражение этих факторов, как их суммарное действие; оказывающее влияние на изменение уровня в отдельно взятые промежутки или моменты времени. Выявить основную тенденцию развития явления методом наименьших квадратов можно лишь тогда, когда выяснено, что изменяющиеся во времени процессы протекают на всем рассматриваемом промежутке времени одинаково, что их количественное и качественное изменение происходит под действием одного и того же комплекса основных факторов, определяющих движение данного ряда динамики.

Модели, учитывающие общие закономерности изменения экономического явления в изучаемый интервал времени и изменения во времени влияния комплекса факторов, называют многофакторными динамическими моделями.

Выделим особенности моделей аналитического выравнивания уровней динамического ряда, накладывающие ограничения на их использование. Во-первых, динамические ряды, к которым применяется аппроксимация, должны быть достаточно длинными. Во-вторых, применение аппроксимации наиболее целесообразно в случае медленно и плавно меняющегося уровня. В-третьих, аппроксимация как метод моделирования практически не адаптируется к изменяющимся условиям формирования уровней ряда; при появлении новых данных построение модели должно быть проведено заново. В-четвертых, при использовании для расчета параметров уравнения метода наименьших квадратов (МНК) считается, что значимость информации в пределах отрезка аппроксимации одинакова независимо от давности полученных данных, в то время как более поздние данные имеют большую ценность.

Помимо этого, динамические ряды экономических показателей часто имеют небольшую длину и подвержены значительным колебаниям, которые аппроксимация предвидеть не может.

Пример решения задачи

Условие задачи

В таблице приведены готовые данные о трудоемкости производства:

Год 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017
Трудоемкость производства, человек-часов 8 8.4 7.6 7 7.3 6.6 5.9 5 5.2
  1. Провести аналитическое выравнивание ряда динамики по прямой.
  2. Построить точечный и интервальный прогноз на 2018 год.

Если сроки со сдачей контрольной работы поджимают, то тогда за деньги на сайте можно выполнить вашу контрольную работу по статистике.

Решение задачи

1) Произведем аналитическое выравнивание ряда по прямой.

Составим расчетную таблицу:

Годы
2009 -4 8 16 -32
2010 -3 8,4 9 -25,2
2011 -2 7,6 4 -15,2
2012 -1 7 1 -7
2013 0 7,3 0 0,0
2014 1 6,6 1 6,6
2015 2 5,9 4 11,8
2016 3 5 9 15
2017 4 5,2 16 20,8
Итого 0 61,0 60 -25,2

Коэффициенты уравнения линейного тренда найдем по формулам:

Уравнение линейного тренда имеет вид:

 

2) Составим расчетную таблицу:

Годы Теоретические значения
 
2009 -4 8 8,48 0,2304
2010 -3 8,4 8,06 0,1156
2011 -2 7,6 7,64 0,0016
2012 -1 7 7,22 0,0484
2013 0 7,3 6,8 0,25
2014 1 6,6 6,38 0,0484
2015 2 5,9 5,96 0,0036
2016 3 5 5,54 0,2916
2017 4 5,2 5,12 0,0064
Итого --- --- --- 0,996

 

Среднеквадратическая ошибка:

 

Точечный прогноз на 2018 год (t=5):

Ошибка прогноза составит:

По таблице критерия Стьюдента, для доверительной вероятности  (уровня значимости ) находим:

 

 

Таким образом тренд для трудоемкости производства выражается линейным уравнением  
. Согласно прогнозу, в 2018 году трудоемкость производства с вероятностью 0,95 будет лежать в пределах от 3,6 до 5,8 человеко-часов.

Примеры близких по теме задач

Коэффициент контингенции
Дана краткая теория и на примере решения задачи показан расчет коэффициентов ассоциации и контингенции.

Относительная величина планового задания
Рассматриваются относительные показатели планового задания, выполнения плана, динамики и их взаимосвязь между собой. Приведены примеры расчета рассматриваемых относительных величин.

Относительные величины динамики
На странице рассматриваются относительные показатели динамики (ОВД) и интенсивности (ОВИ). Приведены примеры расчета рассматриваемых относительных величин.