Помощь студентам - решение задач и контрольных работ

Помощь в решении ваших задач вы можете найти, отправив сообщение ВКонтакте, WhatsApp, Telegram или Viber.
Возможно срочное решение - от суток до нескольких часов, онлайн-помощь на экзамене.
Заполнение формы с личными данными и регистрация на сайте не нужны. Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение с автором студенческих работ без посредников. Опыт работы более 20 лет.
Стоимость решения контрольной работы начинается от 50 р. за задачу (но не менее 300 р. за весь заказ).

Многоканальная СМО с отказами, формулы Эрланга

Краткая теория

 В качестве показателей эффективности СМО с отказами будем рассматривать:

 - абсолютную пропускную способность СМО, т.е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени;

 - относительную пропускную способность, т.е. среднюю долю пришедших заявок, обслуживаемых системой;

  -  вероятность отказа, т.е. того, что заявка покинет СМО необслуженной;

  - среднее число занятых каналов.

Рассмотрим классическую задачу Эрланга.

Имеется  каналов, на которые поступает поток заявок с интенсивностью . Поток обслуживаний имеет интенсивность . Найти предельные вероятности состояний системы и показатели ее эффективности.

Система  (СМО) имеет следующие состояния (нумеруем их по числу заявок, находящихся в системе): , где  – состояние системы, когда в ней находится  заявок, то есть занято  каналов.

Граф состояний СМО соответствует процессу гибели и размножения и показан на рисунке.

Поток заявок последовательно переводит систему из любого левого состояния в соседнее правое с одной и той же интенсивностью . Интенсивность же потока обслуживаний, переводящих систему из любого правого состояния в соседнее левое состояние, постоянно меняется в зависимости от состояния. Действительно, если СМО находится в состоянии  (два канала заняты), то она может перейти в состояние  (один канал занят), когда закончит обслуживание либо первый, либо второй канал, то есть суммарная интенсивность их потоков обслуживаний будет . Аналогично, суммарный поток обслуживаний, переводящий СМО из состояния  (три канала заняты) в  будет иметь интенсивность , то есть может освободиться любой из трех каналов и так далее.

Для схемы гибели и размножения получим для предельной вероятности состояния:

где члены разложения   будут представлять собой коэффициенты при  в выражениях для предельных вероятностей . Величина

называется приведенной интенсивностью потока заявок или интенсивностью нагрузки канала. Она выражает среднее число заявок, приходящее за среднее время обслуживания одной заявки. Теперь:

Последние формулы для предельных вероятностей получили названия формул Эрланга в честь основателя теории массового обслуживания.

Вероятность отказа СМО есть предельная вероятность того, что все  каналов системы будут заняты, то есть:

Относительная пропускная способность – вероятность того, что заявка будет обслужена:

Абсолютная пропускная способность:

Среднее число занятых каналов  есть математическое ожидание числа занятых каналов:

где  – предельные вероятности состояний

Однако среднее число занятых каналов можно найти проще, если учесть, что абсолютная пропускная способность системы  есть не что иное, как интенсивность потока обслуженных системой заявок (в единицу времени). Так как каждый занятый канал обслуживает в среднем  заявок (в единицу времени), то среднее число занятых каналов:

или

Пример решения задачи

Условие задачи

Контроль готовой продукции фирмы осуществляют три контролера. Если изделие поступает на контроль, когда все контролеры заняты проверкой готовых изделий, то оно остается непроверенным. Среднее число изделий, выпускаемых фирмой, составляет 20 изд./ч. Среднее время на проверку одного изделия - 7 мин.

Определить показатели эффективности отдела технического контроля. Сколько контролеров необходимо поставить, чтобы вероятность обслуживания составила не менее 97%?

Оказались на этой странице, пытаясь решить задачу на экзамене или зачете? Если так и не смогли сдать экзамен - в следующий раз договоритесь заранее на сайте об Онлайн помощи по методам оптимальных решений.

Решение задачи

Контроль представляет собой открытую многоканальную систему массового обслуживания с отказом в обслуживании. 

За единицу измерения времени выберем час. Будем считать, что контроль работает в установившемся режиме. По условию задачи

 –число каналов обслуживания

  изделий в час –интенсивность потока заявок

  изделий в час –интенсивность потока обслуживания

Вычислим –относительные интенсивности переходов из состояние в состояние:

Вычислим :

Вероятность отказа:

Вероятность обслуживания

 

Абсолютная пропускная способность системы:

  –среднее число заявок, обслуживаемых системой в единицу времени.

 

Среднее число каналов, занятых обслуживанием заявки:

Вычислим, сколько контролеров нужно поставить, чтобы вероятность обслуживания составила не менее 97%:

Таким образом, чтобы вероятность обслуживания составляла не менее 97%, необходимо иметь 6 контролеров.