Приложения кратных интегралов в механике

Краткая теория

Масса и статистические моменты пластики

Если – область плоскости , занятая пластинкой, и – поверхностная плотность пластики в точке , то масса пластинки и ее статистические моменты и относительно осей и выражаются двойными интегралами:

Если пластика однородна, то

Координаты центра тяжести пластики

Если – центр тяжести пластики, то

где – масса пластинки и – ее статистические моменты относительно осей координат.

Моменты инерции пластики

Моменты инерции пластинки относительно осей и соответственно равны:

Момент инерции пластики относительно начала координат:

Полагая , получаем геометрические моменты инерции плоской фигуры.

Масса тела, занимающего область и статистические моменты тела относительно координатных плоскостей

где – плоскость тела в точке

Координаты центра тяжести

Если тело однородно, то формулах для координат центра тяжести можно положить .

Моменты инерции относительно осей координат

Полагая в этих формулах , получаем геометрические моменты инерции тела.

Примеры решения задач

Задача 1

Вычислить массу материальной пластины, занимающей область плоскости , если поверхностная плотность и границы области заданы уравнениями.

Решение

Сделаем чертеж области :

Искомая масса материальной пластины:

Ответ:

Задача 2

Найти статистический момент фигуры, ограниченной линиями и относительно оси абсцисс.

Решение

Сделаем чертеж:

Статистический момент относительно оси :

Ответ:

Задача 3

Вычислить координаты центра масс однородной материальной пластины , ограниченной данными линиями:

Решение

Сделаем чертеж:

Масса пластинки:

Статистические моменты:

Искомые координаты центра масс:

Ответ: .

Задача 4

Вычислить массу тела , ограниченного заданными поверхностями -плотность в точке .

Решение

На сайте можно заказать решение задач, контрольных, самостоятельных, домашних работ (возможно срочное решение). Для этого вам нужно только связаться со мной:

Телеграм (+7 968 849-45-98)
ВКонтакте
WhatsApp (+7 968 849-45-98)

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Изобразим тело на рисунке:

С боков тело будет ограничено цилиндром и плоскостями . Сверху плоскостью

Проекция на плоскость :

Ответ:

Задача 5

Найти момент инерции однородного шара с массой относительно оси .

Решение

Момент инерции относительно оси можно найти по формуле:

Шар однородный, поэтому плотность:

Перейдем к сферическим координатам:

Получаем:

Ответ: