Помощь студентам - решение задач и контрольных работ

Помощь в решении ваших задач вы можете найти, отправив сообщение ВКонтакте, WhatsApp, Telegram или Viber.
Возможно срочное решение - от суток до нескольких часов, онлайн-помощь на экзамене.
Заполнение формы с личными данными и регистрация на сайте не нужны. Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение с автором студенческих работ без посредников. Опыт работы более 20 лет.
Стоимость решения контрольной работы начинается от 50 р. за задачу (но не менее 300 р. за весь заказ).

Сходимость ряда и признаки сходимости числовых рядов

Определение сходимости ряда. Сумма ряда

Числовой ряд

называется сходящимся, если его частичная сумма

имеет предел при . Величина

называется при этом суммой ряда, а число

остатком ряда.

Если предел

не существует, то ряд называется расходящимся.

Пример 1

Исследовать на сходимость ряд, рассматривая последовательность его частичных сумм. В случае сходимости найти сумму ряда.

Преобразуем выражение под знаком суммы:

Данный ряд - сумма геометрических прогрессий со знаменателями  и

ряд сходится

Признаки сходимости и расходимости числовых рядов.

Необходимый признак сходимости и критерий Коши

Если ряд сходится, то

Обратное утверждение неверно

Критерий Коши

Для сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы для всякого положительного числа  можно подобрать такое , чтобы при  и любом положительном  выполнялось неравество

Сходимость или расходимость ряда не нарушится, если прибавить или отбросить конечное число его членов.

Пример 2

Чтобы решение задачи по высшей математике было максимально точным и верным, многие недорого заказывают контрольную работу на этом сайте. Подробно (как оставить заявку, цены, сроки, способы оплаты) можно почитать на странице Купить контрольную работу по высшей математике...

Исследовать на сходимость ряд:

Воспользуемся необходимым признаком сходимости:

Необходимый признак сходимости не выполняется - ряд расходится.

Признак сравнения

Если , начиная с некоторого , и ряд

сходится, то ряд

также сходится. Если ряд (**) расходится, то расходится и ряд (*).

В качестве рядов для сравнения удобно, в частности, выбирать геометрическую прогрессию:

которая сходится при  и расходится при , и гармонический ряд

являющийся рядом расходящимся.

Пример 3

Этот ряд сходится, так как

Причем геометрическая прогрессия

знаменатель которой , сходится

Предельный признак сравнения

Если существует конечный и отличный от нуля предел

(в частности, если , то ряды

сходятся или расходятся одновременно.

Пример 4

Ряд

сравним с расходящимся гармоническим рядом

Таким образом ряды одновременно расходятся, так как найденный предел конечный и отличный от нуля.

Признак Даламбера

Пусть  (начиная с некоторого ) и существует предел

Тогда ряд

сходится, если , и расходится, если . Если , то вопрос о сходимости ряда остается открытым.

Пример 5

Воспользуемся признаком Даламбера

Ряд сходится

Признак Коши

Пусть  (начиная с некоторого ) и существует предел

Тогда ряд

сходится, если , и расходится, если . Если , то вопрос о сходимости ряда остается открытым.

Пример 6

Воспользуемся признаком Коши:

Ряд расходится

Интегральный признак Коши

Если , где функция  положительна, монотонно убывает и непрерывна при , то ряд

и интеграл

сходится или расходится одновременно.

С помощью интегрального признака доказывается, то ряд Дирихле

сходится, если , и расходится, если . Сходимость многих рядов можно исследовать при помощи сравнения с соответствующим рядом Дирихле.

Пример 7

Исследовать на сходимость числовой ряд:

Используем интегральный признак Коши.

Соответствующий интеграл:

расходится, следовательно, расходится исходный ряд