Помощь студентам - решение задач и контрольных работ

Помощь в решении ваших задач вы можете найти, отправив сообщение WhatsApp, ВКонтакте или Viber. Заполнение формы с личными данными и регистрация на сайте не нужны. Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение с автором студенческих работ без посредников.
Опыт работы более 20 лет.
Оплата на карту Сбербанка (другие распространенные способы оплаты по договоренности).
Стоимость решения домашней работы начинается от 50 р. за задачу (но не менее 300 р. за весь заказ). Подробное оформление с выводами. Стоимость помощи на экзамене онлайн (в этом случае необходима 100% предоплата) - от 1000 р. за решение билета.

Сходимость ряда и признаки сходимости знакоположительных рядов

Определение сходимости ряда. Сумма ряда

Числовой ряд

называется сходящимся, если его частичная сумма

имеет предел при . Величина

называется при этом суммой ряда, а число

остатком ряда.

Если предел

не существует, то ряд называется расходящимся.

Пример 1

Исследовать на сходимость ряд, рассматривая последовательность его частичных сумм. В случае сходимости найти сумму ряда.

Преобразуем выражение под знаком суммы:

Данный ряд - сумма геометрических прогрессий со знаменателями  и

ряд сходится

Признаки сходимости и расходимости знакоположительных рядов.

Необходимый признак сходимости и критерий Коши

Если ряд сходится, то

Обратное утверждение неверно

Критерий Коши

Для сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы для всякого положительного числа  можно подобрать такое , чтобы при  и любом положительном  выполнялось неравество

Сходимость или расходимость ряда не нарушится, если прибавить или отбросить конечное число его членов.

Пример 2

Если все же нет больше сил грызть гранит науки, то это вполне можно понять – в мире найдётся множество более интересных занятий. Сайт 100task.ru занимается написанием контрольных работ по высшей математике на заказ.

Исследовать на сходимость ряд:

Воспользуемся необходимым признаком сходимости:

Необходимый признак сходимости не выполняется - ряд расходится.

Признак сравнения

Если , начиная с некоторого , и ряд

сходится, то ряд

также сходится. Если ряд (**) расходится, то расходится и ряд (*).

В качестве рядов для сравнения удобно, в частности, выбирать геометрическую прогрессию:

которая сходится при  и расходится при , и гармонический ряд

являющийся рядом расходящимся.

Пример 3

Этот ряд сходится, так как

Причем геометрическая прогрессия

знаменатель которой , сходится

Предельный признак сравнения

Если существует конечный и отличный от нуля предел

(в частности, если , то ряды

сходятся или расходятся одновременно.

Пример 4

Ряд

сравним с расходящимся гармоническим рядом

Таким образом ряды одновременно расходятся, так как найденный предел конечный и отличный от нуля.

Признак Даламбера

Пусть  (начиная с некоторого ) и существует предел

Тогда ряд

сходится, если , и расходится, если . Если , то вопрос о сходимости ряда остается открытым.

Пример 5

Воспользуемся признаком Даламбера

Ряд сходится

Признак Коши

Пусть  (начиная с некоторого ) и существует предел

Тогда ряд

сходится, если , и расходится, если . Если , то вопрос о сходимости ряда остается открытым.

Пример 6

Воспользуемся признаком Коши:

Ряд расходится

Интегральный признак Коши

Если , где функция  положительна, монотонно убывает и непрерывна при , то ряд

и интеграл

сходится или расходится одновременно.

С помощью интегрального признака доказывается, то ряд Дирихле

сходится, если , и расходится, если . Сходимость многих рядов можно исследовать при помощи сравнения с соответствующим рядом Дирихле.

Пример 7

Исследовать на сходимость числовой ряд:

Используем интегральный признак Коши.

Соответствующий интеграл:

расходится, следовательно, расходится исходный ряд

Сохранить ссылку на страницу в социальной сети: