Помощь студентам - решение задач и контрольных работ

Помощь в решении ваших задач вы можете найти, отправив сообщение WhatsApp, ВКонтакте или Viber. Заполнение формы с личными данными и регистрация на сайте не нужны. Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение с автором студенческих работ без посредников.
Опыт работы более 20 лет.
Оплата на карту Сбербанка (другие распространенные способы оплаты по договоренности).
Стоимость решения домашней работы начинается от 50 р. за задачу (но не менее 300 р. за весь заказ). Подробное оформление с выводами. Стоимость помощи на экзамене онлайн (в этом случае необходима 100% предоплата) - от 1000 р. за решение билета.

Интервальный вариационный ряд

Пример решения задачи

Условие задачи

Выборка из генеральной совокупности случайной величины X задана интервальным вариационным рядом.

Требуется:

  • Построить полигон и гистограмму частостей (относительных частот) СВ .
  • По виду полигона и гистограммы и исходя из механизма образования СВ сделать предварительный выбор закона распределения.
  • Вычислить выборочную среднюю и исправленное среднее квадратическое отклонение.
  • Записать теоретическую функцию распределения и плотность распределения.
  • Найти доверительные интервалы для математического ожидания и среднего квадратического отклонения при доверительной вероятности .
  • Найти теоретические частоты нормального закона распределения и проверить гипотезу о нормальном распределении СВ с помощью критерия Пирсона при уровне значимости

Даны результаты испытания стойкости 200 удлиненных сверл диаметра 4 мм (в часах).

Стойкость сверла, 3 - 3.2 3.2 - 3.4 3.4 - 3.6 3.6 -3.8 3.8 -4
Частота, 16 50 70 44 20

Решение задачи

Испытываете сложности с пониманием хода решения? На сайте действует услуга Решение задач по теории вероятностей на заказ

Построение гистограммы и полигона относительных частот

Построим гистограмму относительных частот - ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат интервалы длиной , а высоты равны .  На том же графике строим полигон – ломанную, соединяющую точки

3-3.2 3.2-3.4 3.4-3.6 3.6-3.8 3.8-4 Итого
0.08 0.25 0.35 0.22 0.1 1

Полигон и гистограмма относительных частот:

По виду полигона и гистограммы можно предположить, что случайная величина распределена по нормальному закону.

 

Расчет среднего, дисперсии, исправленного среднего квадратического отклонения

Вычислим характеристики распределения. Для этого составим расчетную таблицу. В качестве величины х возьмем середины интервалов.

3.1 3.3 3.5 3.7 3.9 Итого
16 50 70 44 20 200
49.6 165 245 162.8 78 700.4
153.76 544.5 857.5 602.36 304.2 2462.32

Выборочная средняя:

Вычислим исправленную выборочную дисперсию.

Средняя квадратов:

Исправленная выборочная дисперсия:

Исправленное среднее квадратическое отклонение:

 

Плотность вероятности и функция распределения

Плотность вероятности случайной величины  ,  распределенной  по нормальному закону, имеет вид:

Теоретическая плотность вероятности:

 

Функция распределения для СВ , распределенной по нормальному закону, записывается следующим образом

 

Теоретическая функция распределения:

 

Доверительные интервалы для неизвестного математического ожидания и неизвестного среднего квадратического отклонения

Найдем доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания. Он считается по формуле:

, следовательно, 

 

Искомый доверительный интервал математического ожидания:

Найдем доверительный интервал для оценки среднеквадратического отклонения. Он считается по формуле:

где  находим по таблице

, следовательно,

Искомый доверительный интервал для среднеквадратического отклонения:

 

Вычисление теоретических частот

Вычислим теоретические частоты. Для этого пронормируем , то есть перейдем к случайной величине , которую можно вычислить по формуле:

Вероятность попадания в соответствующий интервал:

, где - функция Лапласа

Теоретические частоты нормального закона распределения:

, где  -объем выборки

Составим расчетную таблицу:

Интервалы 3-3.2 3.2-3.4 3.4-3.6 3.6-3.8 3.8-4 Итого
-1.384 -0.468 0.449 1.366  
-1.384 -0.468 0.449 1.366  
-0.5 -0.417 -0.18 0.173 0.414  
-0.417 -0.18 0.173 0.414 0.5  
0.083 0.237 0.353 0.241 0.086 1
16.627 47.384 70.66 48.133 17.196 200

Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности по критерию Пирсона

Проверим степень согласия эмпирического и теоретического распределения по критерию Пирсона:

Интервалы 3-3.2 3.2-3.4 3.4-3.6 3.6-3.8 3.8-4 Итого
16 50 70 44 20  200
16.627 47.384 70.66 48.133 17.196  
0.024 0.144 0.006 0.355 0.457 0.986

Из расчетной таблицы

Уровень значимости

Число степеней свободы

По таблице критических точек распределения:

Нет оснований отвергнуть гипотезу о распределении случайной величины по нормальному закону.

Сохранить ссылку на страницу в социальной сети: