Мгновенная связь через Вайбер или ВКонтакте в любое время
и на любом этапе заказа.
Общение с автором работ без посредников.
Опыт работы более 20 лет.
Помощь в решении ваших задач вы можете найти, отправив сообщение Вайбера или ВКонтакте Заполнение формы с личными данными и регистрация на сайте не нужна.
Телефон: 8(968)849-45-98

Пример решения задачи. Математическая статистика. Расчет характеристик распределения и проверка гипотезы о распределении СВ.

Условие задачи

Дан интервальный статистический ряд распределения частот экспериментальных значений случайной величины .

Требуется:

  • Построить полигон и гистограмму частостей (относительных частот) СВ .
  • По виду полигона и гистограммы и исходя из механизма образования СВ сделать предварительный выбор закона распределения.
  • Вычислить выборочную среднюю и исправленное среднее квадратическое отклонение.
  • Записать гипотетичную функцию распределения и плотность распределения.
  • Найти доверительные интервалы для математического ожидания и среднего квадратического отклонения при доверительной вероятности .
  • Найти теоретические частоты нормального закона распределения и проверить гипотезу о нормальном распределении СВ с помощью критерия Пирсона при уровне значимости

Даны результаты испытания стойкости 200 удлиненных сверл диаметра 4 мм (в часах).

Стойкость сверла,

3 - 3.2

3.2 - 3.4

3.4 - 3.6

3.6 -3.8

3.8 -4

Частота,

16

50

70

44

20

Решение задачи

Построение гистограммы и полигона относительных частот

Построим гистограмму относительных частот - ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат интервалы длиной , а высоты равны .  На том же графике строим полигон – ломанную, соединяющую точки

3-3.2

3.2-3.4

3.4-3.6

3.6-3.8

3.8-4

Итого

0.08

0.25

0.35

0.22

0.1

1

Полигон и гистограмма относительных частот:

По виду полигона и гистограммы можно предположить, что случайная величина распределена по нормальному закону.

 

Расчет математического ожидания, дисперсии, исправленного среднего квадратического отклонения

Вычислим характеристики распределения. Для этого составим расчетную таблицу. В качестве величины х возьмем середины интервалов.

3.1

3.3

3.5

3.7

3.9

Итого

16

50

70

44

20

200

49.6

165

245

162.8

78

700.4

153.76

544.5

857.5

602.36

304.2

2462.32

Выборочная средняя:

Вычислим исправленную выборочную дисперсию.

Средняя квадратов:

Выборочная дисперсия:

Исправленное среднее квадратическое отклонение:

 

Плотность вероятности и функция распределения

Плотность вероятности случайной величины  ,  распределенной  по нормальному закону, имеет вид:

Гипотетичная плотность вероятности:

 

Функция распределения для СВ , распределенной по нормальному закону, записывается следующим образом

 

Гипотетичная функция распределения:

 

Доверительные интервалы для неизвестного математического ожидания и неизвестного среднего квадратического отклонения

Найдем доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания. Он считается по формуле:

, следовательно, 

 

Искомый доверительный интервал математического ожидания:

Найдем доверительный интервал для оценки среднеквадратического отклонения. Он считается по формуле:

где  находим по таблице

, следовательно,

Искомый доверительный интервал для среднеквадратического отклонения:

 

Вычисление теоретических частот

Вычислим теоретические частоты. Для этого пронормируем , то есть перейдем к случайной величине , которую можно вычислить по формуле:

Вероятность попадания в соответствующий интервал:

, где - функция Лапласа

Теоретические частоты:

, где  -объем выборки

Составим расчетную таблицу:

Интервалы

3-3.2

3.2-3.4

3.4-3.6

3.6-3.8

3.8-4

Итого

-1.384

-0.468

0.449

1.366

 

-1.384

-0.468

0.449

1.366

 

-0.5

-0.417

-0.18

0.173

0.414

 

-0.417

-0.18

0.173

0.414

0.5

 

0.083

0.237

0.353

0.241

0.086

1

16.627

47.384

70.66

48.133

17.196

200

Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности по критерию Пирсона

Проверим степень согласия эмпирического и теоретического распределения по критерию Пирсона:

Интервалы

3-3.2

3.2-3.4

3.4-3.6

3.6-3.8

3.8-4

Итого

16

50

70

44

20

 200

16.627

47.384

70.66

48.133

17.196

 

0.024

0.144

0.006

0.355

0.457

0.986

Из расчетной таблицы

Уровень значимости

Число степеней свободы

По таблице критических точек распределения:

Гипотеза о распределении случайной величины по выбранному закону подтверждается.


Сохранить ссылку на страницу в социальной сети:

Помощь в решении ваших задач по теории вероятностей вы можете найти, отправив сообщение в ВКонтакте, на Viber или заполнив форму. Стоимость решения домашней работы начинается от 80 р. за задачу (но не менее 300 р. за весь заказ). Подробное оформление. Стоимость помощи на экзамене онлайн (в этом случае необходима 100% предоплата) - от 1000 р. за решение билета. Подробнее...


@100task.ru 2009-2017 Москва Спб НН