Помощь студентам - решение задач и контрольных работ

Помощь в решении ваших задач вы можете найти, отправив сообщение ВКонтакте, WhatsApp или Viber.
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение с автором студенческих работ без посредников. Опыт работы более 20 лет.
Средняя стоимость решения контрольной работы 700 - 1200 рублей (но не менее 300 руб. за весь заказ). На цену сильно влияет срочность решения (от суток до нескольких часов).
Стоимость онлайн-помощи на экзамене/зачете - от 1000 руб. за решение билета.

Нелинейные модели парной регрессии

Содержание

Параболическая регрессия

Уравнение регрессии в форме параболы второго порядка имеет следующий вид:

Если при линейной связи среднее изменение результативного признака на единицу фактора постоянно по всей области вариации фактора, то при параболической корреляции изменение признака  меняется равномерно с изменением величины фактора. В результате связь может даже поменять знак на противоположный, из прямой превратится в обратную, из обратной в прямую. Такой характер связи присущ  многим системам. Например, с увеличением дозы удобрений урожайность сельхозкультур сначала повышается, но если превысить оптимальную величину дозы, то при дальнейшем росте дозы удобрения растения угнетаются и урожайность снижается.

Нормальные уравнения метода наименьших квадратов (МНК) для параболы 2-го порядка таковы:

 

Ввиду симметричности кривой парабола второй степени далеко не всегда пригодна в конкретных исследованиях. Чаще исследователь имеет дело лишь с отдельными сегментами параболы, а не с полной параболической формой.

Кроме того, параметры параболической связи не всегда могут быть логически истолкованы. Поэтому если график зависимости не демонстрирует четко выраженной параболы второго порядка (нет смены направленности связи признаков), то она может быть заменена другой нелинейной функцией, например степенной. В частности, в литературе часто рассматривается парабола второй степени для характеристики зависимости урожайности от количества внесенных удобрений. Данная форма связи мотивируется тем, что с увеличением количества внесенных удобрений урожайность растет лишь до достижения оптимальной дозы вносимых удобрений. Дальнейший же рост их дозы оказывается вредным для растения, и урожайность снижается. Несмотря на несомненную справедливость данного утверждения, следует отметить, что внесение в почву минеральных удобрений производится на основе учета достижений агробиологической науки. Поэтому на практике часто данная зависимость представлена лишь сегментом параболы, что и позволяет использовать другие нелинейные функции.

Задача

Постройте криволинейную регрессионную модель (параболу) для следующих исходных данных.

1 2 3 4
30 7 8 1

Решение

Уравнение параболической регрессии имеет вид:

Составим расчетную таблицу:

1 1 30 1 1 1 30 30 28.4 285.61 342.25
2 2 7 4 8 16 14 28 11.8 0.09 20.25
3 3 8 9 27 81 24 72 3.2 68.89 12.25
4 4 1 16 64 256 4 16 2.6 79.21 110.25
Сумма 10 46 30 100 354 72 146   433.8 485

 

Для нахождения коэффициентов параболы необходимо решить систему уравнений:

 

Подставляя в систему уравнений, получаем:

Решая систему уравнений, получаем:

Уравнение параболической регрессии имеет вид:

Коэффициент детерминации:

 

Коэффициент эластичности:

Гиперболическая регрессия

Уравнение регрессии в форме гиперболы имеет следующий вид:

Гиперболические зависимости характерны для связей, в которых результативный признак не может варьировать неограниченно, его вариация имеет односторонний предел. Например, совершенствуя двигатель, можно увеличивать его КПД, но не выше предела, допускаемого данным видом преобразования энергии. Или таков характер связи между уровнем душевого дохода в семье и долей семей, имеющих телевизоры – он приближен к пределу (100%) в наиболее обеспеченной группе семей.

Если величина  положительна, то при увеличении значений факторного признака  значения результативного признака уменьшаются, причем это уменьшение все время замедляется, и при  средняя величина признака  будет равна .  Классическим примером является кривая Филлипса, характеризующая нелинейное соотношение между нормой безработицы  и процентом прироста заработной платы.

Если же параметр  отрицателен, то значения результативного признака с ростом фактора возрастают, причем их рост замедляется, и в пределе при   .  Примером может служить взаимосвязь доли расходов на товары длительного пользования и общих сумм расходов. Математическое описание подобного рода взаимосвязей получило название кривых Энегеля.

Нормальные уравнения метода наименьших квадратов (МНК) для гиперболы таковы:

 

Легко увидеть, что эти уравнения, по существу, те же, что для линейной связи. Линеаризация гиперболического уравнения достигается заменой  на новую переменную, которую можно обозначить . Тогда уравнение гиперболической регрессии примет вид .

Задача

Постройте криволинейную регрессионную модель (гиперболу) для следующих исходных данных.

0,96 0,75 0,64 0,55 0,68 0,71 0,95 0,45 0,71 0,63
1,95 2,6 4,28 6,52 4,55 2,91 1,81 8,21 2,84 4,38

Решение

Уравнение гиперблической регрессии имеет вид:

Составим расчетную таблицу:

 

1 0,96 1,95 1,042 1,085 2,031 1,436 6,598 4,223
2 0,75 2,6 1,333 1,778 3,467 3,105 0,809 1,974
3 0,64 4,28 1,563 2,441 6,688 4,417 0,169 0,076
4 0,55 6,52 1,818 3,306 11,855 5,880 3,514 6,325
5 0,68 4,55 1,471 2,163 6,691 3,891 0,013 0,297
6 0,71 2,91 1,408 1,984 4,099 3,535 0,221 1,199
7 0,95 1,81 1,053 1,108 1,905 1,499 6,279 4,818
8 0,45 8,21 2,222 4,938 18,244 8,192 17,527 17,682
9 0,71 2,84 1,408 1,984 4,000 3,535 0,221 1,357
10 0,63 4,38 1,587 2,520 6,952 4,559 0,306 0,141
Итого 7,03 40,05 14,905 23,306 65,932 40,048 35,658 38,092

Для нахождения коэффициентов гиперболической регрессии необходимо решить систему уравнений:

 

Подставляя в систему уравнений, получаем:

Решая систему уравнений, получаем:

Искомое уравнение гиперболической регрессии:

Коэффициент детерминации:

 

Коэффициент эластичности:

Показательная (экспоненциальная) регрессия

Уравнение регрессии в показательной форме имеет следующий вид:

Данное уравнение является нелинейным по коэффициенту  и относится к классу моделей регрессии, которые можно с помощью преобразований привести к линейному виду.

Показательная функция является внутренне линейной, поэтому оценки неизвестных параметров её линеаризованной формы можно рассчитать с помощью классического метода наименьших квадратов

Нормальные уравнения метода наименьших квадратов (МНК) для показательной регрессии:

Отсюда:

Задача

Постройте криволинейную регрессионную модель (показательная функция) для следующих исходных данных.

1,95 2,58 3,26 4,51 5,14 5,92 6,81 7,45 8,02 8,75
6,1 8,51 10,82 17,92 24,21 33,1 45,51 61,21 72,38 95,24

Решение

Уравнение показательной регрессии имеет вид:

Составим расчетную таблицу:

1 1,95 6,1 3,803 1,808 3,526 6,433 0,104 985,960
2 2,58 8,51 6,656 2,141 5,524 8,292 0,048 840,420
3 3,26 10,82 10,628 2,381 7,763 10,904 0,007 711,822
4 4,51 17,92 20,340 2,886 13,015 18,041 0,015 383,376
5 5,14 24,21 26,420 3,187 16,380 23,252 0,918 176,624
6 5,92 33,1 35,046 3,500 20,717 31,835 1,600 19,360
7 6,81 45,51 46,376 3,818 26,000 45,561 0,003 64,160
8 7,45 61,21 55,503 4,114 30,652 58,959 5,066 562,164
9 8,02 72,38 64,320 4,282 34,341 74,176 3,226 1216,614
10 8,75 95,24 76,563 4,556 39,869 99,532 18,423 3333,908
Итого 54,39 375 345,654 32,674 197,788   29,408 8294,409

Для нахождения коэффициентов показательной регрессии необходимо решить систему уравнений:

 

Подставляя в систему уравнений, получаем:

Решая систему уравнений, получаем:

Искомое уравнение показательной регрессии:

Коэффициент детерминации:

 

Коэффициент эластичности:

 

Степенная регрессия

В моделях, нелинейных по оцениваемым параметрам, но приводимых к линейному виду, метод наименьших квадратов и его требования применяются не к исходным данным результативного признака, а к их преобразованным величинам.

Так, в степенной функции:

метод наименьших квадратов применяется к преобразованному уравнению:

Система линейных уравнений будет иметь вид:

Отсюда:

 

 

Степенная регрессия широко используется в исследованиях при изучении эластичности спроса от цен.

Задача

По данным постройте степенную регрессию:

2,21 17,45 8,6 61,05 5,76 33,38 16,22 3,88 0,75 149,3
9,63 25,92 31,6 17,71 14,87 44,03 13,7 9,13 3,86 170,45

Решение

Уравнение степенной регрессии имеет вид:

Составим расчетную таблицу:

 

 
1 2,21 9,63 0,793 0,629 2,265 1,796 8,690 105,030 86,655
2 17,45 25,92 2,859 8,176 3,255 9,307 20,871 3,733 48,736
3 8,6 31,6 2,152 4,630 3,453 7,430 15,461 12,093 160,304
4 61,05 17,71 4,112 16,906 2,874 11,818 35,494 274,065 1,510
5 5,76 14,87 1,751 3,066 2,699 4,726 13,045 34,739 16,556
6 33,38 44,03 3,508 12,306 3,785 13,277 27,478 72,911 629,564
7 16,22 13,7 2,786 7,763 2,617 7,293 20,234 1,677 27,446
8 3,88 9,13 1,356 1,838 2,212 2,999 11,033 62,506 96,214
9 0,75 3,86 -0,288 0,083 1,351 -0,389 5,496 180,711 227,373
Итого 149,3 170,45 19,029 55,397 24,511 58,257   747,465 1294,358

Для нахождения коэффициентов степенной регрессии необходимо решить систему уравнений:

 

Подставляя в систему уравнений, получаем:

Решая систему уравнений, получаем:

Искомое уравнение степенной регрессии:

Коэффициент детерминации:

 

Коэффициент эластичности: