Объединение платежей и эквивалентные платежи

Принцип эквивалентности применяется при различных изменениях условий выплат денежных сумм. Общий метод решения подобного рода задач заключается в разработке так называемого уравнения эквивалентности, в котором сумма заменяемых платежей, приведенных к какому-либо моменту времени, приравнивается к сумме платежей по новому обязательству, приведенных к той же дате. Для краткосрочных обязательств приведение осуществляется обычно на основе простых ставок, для средне- и долгосрочных — с помощью сложных ставок. Заметим, что в простых случаях конверсии платежей часто можно обойтись без специальной разработки и решения уравнения эквивалентности.

Одним из распространенных случаев изменения условия выплат является объединение платежей.  Пусть платежи  со сроками  заменяются одним в сумме  и сроком . В этом случае возможны две постановки задачи: если задается срок , то находится сумма  и наоборот, если задана сумма консолидированного платежа , то определяется срок .

 При решении задачи определения суммы консолидированного платежа уравнение эквивалентности имеет простой вид. В общем случае, когда , причем , искомую величину находим как сумму наращенных и дисконтированных платежей. При применении простых процентных ставок, получим:

где  – размеры объединяемых платежей со сроками

 – размеры платежей со сроками

В частном случае, когда

При объединении обязательств можно применить и учетные ставки. В этом случае при условии, что все сроки выплат пролонгируются, то есть ,  находим сумму наращенных по учетной ставке платежей:

В общем случае имеем:

 и  имеют тот же смысл, что и выше.

Объединение платежей можно осуществить и на основе сложных ставок.  Для общего случая получим:

Рассмотрим теперь более общие случаи изменения условий выплат, предусматриваемых в контрактах, для которых решение нельзя получить простым суммированием приведенных на некоторую дату платежей. Когда некоторое количество платежей заменяется эквивалентными платежами, с другими сроками и суммами. И в таких случаях решение основывается на принципе эквивалентности платежей до и после изменения условий. Метод решения заключается в разработке упоминавшегося выше уравнения эквивалентности.  Если приведение платежей осуществляется на некоторую начальную дату, то получим следуюшие уравнения эквивалентности в общем виде.

при использовании простых процентов:

при использовании сложных процентов:

где  и  – параметры заменяемых платежей,  и  – параметры эквивалентных им платежей.

Конкретный вид уравнения определяется содержанием контрактов.