Современная величина финансовой ренты

Краткая теория


Под современной стоимостью потока платежей понимают сумму дисконтированных членов этого потока на некоторый предшествующий момент времени. Вместо терминов «современная стоимость» и «современная величина» потока платежей в зависимости от контекста употребляют термины капитализированная стоимость и приведенная величина.  Современная стоимость потока платежей эквивалентна в финансовом смысле всем платежам, которые охватывает поток. В связи с этим данный показатель находит широкое применение в разнообразных финансовых расчетах (планирование погашения долгосрочных займов, реструктурирование долга, оценка и сравнение эффективности производственных инвестиций и т. д.).

Начнем с самого простого случая  финансовой ренты – годовой ренты постнумерандо, член которой равен  R, срок ренты n; ежегодное дисконтирование. Рента немедленная. В этих условиях дисконтированная величина первого платежа равна , второго  - , последнего - . Эти величины образуют ряд, следующий геометрической прогрессии, с первым членом  и знаменателем . Обозначим сумму членов этой прогрессии как . Найдем ее:

Назовем множитель, на который умножается , коэффициентом приведения ренты, обозначим его как . Этот коэффициент характеризует стоимость ренты с членом, равным 1. Чем выше значение , тем меньше величина коэффициента. При увеличении срока ренты величина  стремится к некоторому пределу. При  предельное значение коэффициента составит:

Полученное выражение применяется при расчете современной стоимости вечной ренты.

Начисление процентов m раз в году

Если по договору происходит, получаем следующую формулу:

p-срочная рента (m=1)

Если платежи производятся не один, а p раз в году, то коэффициенты приведения находятся так же, как и в случае годовой ренты. Только теперь размер платежа равен , а число членов . Сумма дисконтированных платежей равна:

 

p-срочная рента (p=m)

Число членов ренты здесь равно числу начислений процентов; величина ренты составляет . В итоге получаем:

p-срочная рента (p≠m)

Сумма членов соответствующей прогрессии составит:

 

Смежные темы решебника:

Примеры решения задач


Пример 1

  Определить коэффициент приведения an/i(r) r=3-срочной ренты постнумерандо заключенной на n=5 лет под i=8.7% годовых.

На сайте можно заказать решение задач, контрольных, самостоятельных, домашних работ (возможно срочное решение). Для этого вам нужно только связаться со мной:

Телеграм @helptask
ВКонтакте (vk.com/task100)
WhatsApp +7 (968) 849-45-98

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Дано:

Решение:

Коэффициент приведения:

Подставляя числовые значения, получаем:

 

Ответ: 


Пример 2

Вычислите, какую ссуду вы можете взять на 4 года под 10% годовых, начисляемых ежемесячно, если вы способны выплачивать 200 д.е. в месяц для ее погашения?

Дано:

Решение:

Размер ссуды будет равен современной стоимости ренты:

Подставляя числовые значения, получаем:

 

Ответ: 


Пример 3

Кредит в размере 25000 д.е. получен по 11% годовых, начисляемых ежемесячно на непогашенный остаток. Долг должен быть погашен одинаковыми ежемесячными платежами в течении года. Найти размер ежемесячного платежа.

Дано:

Решение:

Сумма кредита с процентами будет равна современной стоимости ренты постнумерандо, которую можно вычислить по формуле:

 

Откуда величина погасительного платежа:

Ответ: 


Пример 4

Какую сумму нужно положить в банк под 10% женщине 45 лет, чтобы по достижении ею возраста 55 лет получать в конце каждого квартала 30 тыс. руб. в течение 10 лет при ежегодной капитализации процентов?

На сайте можно заказать решение задач, контрольных, самостоятельных, домашних работ (возможно срочное решение). Для этого вам нужно только связаться со мной:

Телеграм @helptask
ВКонтакте (vk.com/task100)
WhatsApp +7 (968) 849-45-98

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Наращенная сумма:

Дано:

Решение:

Вычислим современную стоимость ренты – та сумма, которая должна быть на счету по достижении 55 лет:

Откуда сумма, которую необходимо положить в 45 лет:

Ответ: 


Пример 5

Банк выдает кредит под 12,0% годовых (суммы, погашающие кредит, выплачиваются ежеквартально, проценты начисляются ежеквартально). Определите срок, который потребуется для погашения кредита в размере 600 000 рублей, если заемщик не может выплачивать более 27 000 рублей в квартал. Погашение кредита производится равными (аннуитетными) платежами.

Дано:

Решение:

Современная стоимость постоянной ренты постнумерандо:

Из последней формулы выразим срок ренты :

Искомый срок:

Подставляя числовые значения, получаем:

Округляя до целого количества кварталов в большую сторону, получаем

 

Ответ: Заемщик будет выплачивать кредит 9,5 лет.

Задачи контрольных и самостоятельных работ


Задача 1

Родители планируют, что их ребенок через 8 лет поступит в университет, где за обучение надо платить в течение 5 лет по 700 у.е. каждое полугодие. Какую сумму должны сегодня родители положить в банк под 6% годовых, начисляемых ежемесячно, чтобы оплатить обучение? 

На сайте можно заказать решение задач, контрольных, самостоятельных, домашних работ (возможно срочное решение). Для этого вам нужно только связаться со мной:

Телеграм @helptask
ВКонтакте (vk.com/task100)
WhatsApp +7 (968) 849-45-98

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.


Задача 2

Кредит 10000 руб. на 5 лет под 10% погашается разовым платежом в конце срока. Рассчитать размер взноса в погасительный фонд, если банковская ставка 15%.


Задача 3

Какова приведенная стоимость аннуитета постнумерандо с изменяющимся денежным потоком общей продолжительностью 10 лет, имеющего нулевые поступления в первые три года и равные поступления в 1000 долл. в оставшиеся годы, если рыночная норма прибыли равна 8% для первых трех лет и 10% для оставшихся семи лет?


Задача 4

Родители планируют, что их ребенок через 6 лет поступит в колледж, где за обучение надо платить по 1200 д.е. в год. Какую сумму должны сегодня родители положить в банк, под 6,5% годовых, начисляемых ежемесячно, чтобы оплатить обучение в течение 4 лет?


Задача 5

Найти приведенную стоимость "А" ренты постнумерандо, выплачиваемой в течение  лет с годовыми аннуитетами  при годовой процентной ставе . ("А" рассчитать с точностью до копеек).


Задача 6

Вам предлагают вложить 250 тыс. руб.  в некий проект, рассчитанный на 15 лет. Ожидаемые доходы по проекту таковы: в течение первых четырёх лет по 24 тыс. руб. в год, в последующие годы- 30 тыс. руб. в год (схема постнумерандо). Стоит ли принимать это предложение и почему, если приемлемая норма прибыли- 8% (в ответе привести значение критерия)?


Задача 7

В конце каждого полугодия учебного года в течение следующих пяти лет студенту университете придется платить за обучение по 2250 евро. Сколько нужно иметь денег в наличии на начало поступления в университет, чтобы покрыть эту сумму. Процентная ставка по депозитам в евро составляет 5,8%.


Задача 8

Клиент предложил оплатить выполненную работу одним из двух способов: а) единовременно получить 5000 долл. или б) два года спустя получать бесконечно долго по 500 долл. ежегодно в конце каждого года. Какой вариант более предпочтителен, если приемлемая норма прибыли 8%?


Задача 9

На счет в банке в течение двух лет в конце каждого года будут вноситься суммы в размере 3000 руб., на которые ежеквартально будут начисляться проценты по ставке 16% годовых. Определить современную стоимость аннуитета.


Задача 10

При аварии на химическом заводе в Индии корпорация «Union carbide» первоначально предложила в качестве компенсации пострадавшим 200 млн. дол., выплачиваемых в течение 35 лет ежемесячно. Правительство Индии требовало 85 млн. дол. Имело ли смысл принимать предложение корпорации, если банковская процентная ставка 6%.


Задача 7

Ожидается, что доходы от эксплуатации месторождения полезных ископаемых составят 0,8 млрд. руб. в год, продолжительность разработки 12 лет. Отгрузка и реализация продукции непрерывны и равномерны. Есть ли необходимость осваивать это месторождение, если оно потребует вложений в 4,4 млрд. руб., а доходность по государственным безрисковым ценным бумагам 12%.


Задача 8

В конце каждого полугодия учебного года в течение следующих пяти лет студенту университета придется платить за обучение 2250 евро. Сколько нужно иметь денег в наличии на начало поступления в университет, чтобы покрыть эту сумму. Процентная ставка по депозитам в евро составляет 5,8%.


Задача 9

Семья имела на банковском счете 500 000 р., на который ежемесячно начислялся 1%. Отбыв в трехлетнюю командировку, она доверила банку потратить весь счет на содержание сына. Сколько в месяц будет получать сын?


Задача 10

Кредит в сумме 4 млн. р, взятый на покупку квартиры, выплачивается в течение 15 лет ежемесячными выплатами  при годовой ставке 10% с ежеквартальной капитализацией процентов. Найти .


Задача 11

Какую сумму нужно положить в банк под 9% мужчине 47 лет, чтобы по достижении им возраста 60 лет получать в конце каждого месяца 10 тыс. руб. в течение 10 лет при ежеквартальной капитализации процентов?

На сайте можно заказать решение задач, контрольных, самостоятельных, домашних работ (возможно срочное решение). Для этого вам нужно только связаться со мной:

Телеграм @helptask
ВКонтакте (vk.com/task100)
WhatsApp +7 (968) 849-45-98

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.


Задача 12

Найти цену ежегодной ренты, выплачиваемой в конце каждого года в течение 10 лет с ежегодной суммой 150 у.д.е., если процентная ставка равна 12 %.


Задача 13

Найти цену ежегодной пожизненной ренты с правом наследования, выплачиваемой в конце каждого года суммой 350 у.д.е., если годовая учётная ставка равна 8%.


Задача 14

Определить современную стоимость потока ренты пренумерандо, если ставка 23% годовых, период ренты квартал, срок ренты 1 год. Платежи 1500, 2000, 2500 у.е.


Задача 13

При заключении нового договора было решено заменить единовременный платеж в размере 110 000 руб. (который должен был быть выплачен в день заключения нового договора) на 5 одинаковых ежеквартальных (в конце периода) платежей начиная с момента заключения нового договора. Найдите размер ежеквартального платежа, используя сложную годовую ставку 7,00 % с начислением процентов 1 раз в год.


Задача 14

Предприятие создает инвестиционный фонд. Ежегодно для создания фонда в банк вносится 250 тыс. руб. под 9% годовых. Найти наращенную сумму ренты, если фонд создается в течении 7 лет, при условии что:

а) рентные платежи осуществляются один раз в году, начисление процентов производится один раз в конце периода начисления;

б) рентные платежи осуществляются один раз в году, а проценты начисляются ежеквартально;

в) рентные платежи осуществляются ежеквартально, а проценты начисляются один раз в году;

г) рентные платежи осуществляются два раза в году, и проценты начисляются два раза в год.

д) рентные платежи осуществляются каждые два месяца в году, а проценты начисляются ежемесячно.

Определить срок, для каждого варианта, который необходим для создания инвестиционного фонда, если процентная ставка снизится в полтора раза.

Определить современную величину постоянной ренты для каждого варианта.


Задача 15

Известны параметры ренты с выплатами постнумерандо. Член ренты - 200 тыс у.е. Срок ренты - 4 года. При расчетах принять ставку (схема сложных процентов) 15% годовых.  Найти современную стоимость данной   ренты.


Задача 16

Кредит 4000000 д.е. выплачивается в течении 25-ти лет (300 платежей). Посчитайте величину ежегодных взносов, если на долг начисляется сложные проценты по процентной  по годовой ставке 19 % постнумерандо.


Задача 17

Предпринимателю предлагают либо взять в безвременную аренду земельный участок за R = 100 тыс. руб. в год, либо выкупить этот участок за S = 2000000 руб. Что выгоднее при сложной годовой ставке i %?


Задача 18

Условия аренды предусматривают месячные платежи в 100000 рублей в течение 2 лет. За какую цену можно купить площади сегодня, чтобы расходы компании оказались одинаковыми, если ставка альтернативной доходности составляет 12% годовых?


Задача 19

Кредит в размере 50 млн.р., выданный под 80% годовых, должен погашаться равными суммами в течение 5 лет.

Определите размеры ежегодных срочных уплат и сумму выплаченных процентов, если погасительные платежи осуществляются: 1) 1 раз в конце года; б) каждые полгода.


Задача 20

Кредит в сумме 5 млн.р. погашается 12 равномерными ежемесячными взносами. Процентная ставка по кредиту установлена в размере 24% годовых.

Найдите сумму ежемесячного взноса при платеже по схеме постнумерандо.

На сайте можно заказать решение задач, контрольных, самостоятельных, домашних работ (возможно срочное решение). Для этого вам нужно только связаться со мной:

Телеграм @helptask
ВКонтакте (vk.com/task100)
WhatsApp +7 (968) 849-45-98

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.


Задача 21

Вы заняли на 5 лет $10000 под 8% годовых, начисляемых по схеме сложных процентов на непогашенный остаток. Возвращать нужно равными суммами в конце каждого года. Определите общую сумму процентов к выплате.


Задача 22

Определить размер ежегодных платежей по сложной ставке 17% годовых для погашения кредита размером 300000 руб. в течение 5 лет.


Задача 23

В течение 20 лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по 10000 руб. Ежегодное дисконтирование производится по сложной ставке 10% годовых. Определить современную стоимость ренты.


Задача 24

 Предположим, Вам предлагают два варианта оплаты: сразу заплатить 500 000 руб. или вносить по 115 000 руб. в конце каждого следующего месяца в течение полугода. Вы могли бы обеспечить вложениям 8 % годовых. Какой вариант предпочтительнее?


Задача 25

Определить размер ежегодных платежей по сложной ставке 20% годовых для погашения кредита размером 300000 руб. в течение 5 лет.


Задача 26

Кредит в сумме 500000 руб. погашается 12 равномерными ежемесячными взносами. Процентная ставка по кредиту установлена в размере 12% годовых. Найти сумму ежемесячного взноса при платеже по схеме пренумерандо.


Задача 27

Трехлетний кредит в 3*100 тыс. руб. под 3% годовых погашается выплатами в конце каждого месяца по (3+5) тыс. руб. Найдите сумму, которую необходимо заплатить при подписании контракта.


Задача 28

Какую сумму Вам нужно положить в банк под 3%, чтобы по достижении Вами возраста 60 лет получать в конце каждого месяца 10 тыс. руб. в течении 3 лет при ежеквартальной капитализации процентов.

На сайте можно заказать решение задач, контрольных, самостоятельных, домашних работ (возможно срочное решение). Для этого вам нужно только связаться со мной:

Телеграм @helptask
ВКонтакте (vk.com/task100)
WhatsApp +7 (968) 849-45-98

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.


Задача 29

Фирма взяла кредит в банке 100 млн. руб. сроком на три года под 20% годовых. Определить размер ежегодных платежей.


Задача 30

Страховая компания, заключив на 4 года договор с некоторой фирмой, получает от нее страховые взносы по 20 тыс. руб. в конце каждого полугодия. Эти взносы компания помещает в банк под 12% годовых.

Найдите современную стоимость суммы, которую получит страховая компания по данному контракту, если проценты начисляются ежемесячно.


Задача 31

Компания гарантирует выплату дивидендов в размере 1000 руб. на акцию в конце каждого года в течение неопределенного долгого времени. Имеет ли смысл покупать акции этой компании по цене 9000 руб., если можно поместить деньги на депозит под 10% годовых?


Задача 32

Фирма собирается вложить средства в приобретение нового оборудования, стоимость которого вместе с доставкой и установкой составит 1 млн. руб. Ожидается, что внедрение оборудование обеспечит получение в течение 6 лет чистых доходов, равных 260 тыс. руб. в год. Оценить эффективность проекта, если денежные средства для его реализации можно занять в банке под 10% годовых (сложные проценты).


Задача 33

Фирма взяла кредит в банке 100 млн. руб. сроком на три года под 35% годовых. Определить размер ежегодных платежей.  


Задача 34

Какие одинаковые платежи в конце каждого квартала в течении 20 лет обеспечили бы приобретение дома, которые стоит 200 тысяч рублей наличными, если процентная ставка j4=5%


Задача 35

Оформляется контракт, по которому выплачивается 500тыс.руб. в конце каждого полугодия в течение семи с половиной лет и дополнительно 10 тыс. руб. в конце этого срока. Чему равна стоимость контракта, если деньги стоят j=5%?


Задача 36

Потоки платежей.

Для постоянной годовой ренты пренумерандо с разовым платежом 100000 рублей, сложной годовой ставки 18%. Начисления процентов раз в году в течение пяти лет определить сумму всех платежей на начало выплат.


Задача 37

Некто желает приобрести аннуитет с ежегодными выплатами, равными 12000 д.е., в течение последующих 15 лет. Если на сумму вклада ежеквартально начисляются сложные проценты по годовой процентной ставке 0,08, какова стоимость этого аннуитета?

На сайте можно заказать решение задач, контрольных, самостоятельных, домашних работ (возможно срочное решение). Для этого вам нужно только связаться со мной:

Телеграм @helptask
ВКонтакте (vk.com/task100)
WhatsApp +7 (968) 849-45-98

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.


Задача 38

Мэри получила наследство 30000 д. е., которые она вложила под ежеквартальное начисление сложных процентов по годовой процентной ставке 0,08 для приобретения аннуитета. Мэри желает в конце каждого года брать сумму  для отдыха на Гавайях. Определите величину , если последняя выплата использована через 10 лет.


Задача 39

Банк предлагает ренту постнумерандо на 10 лет с квартальной выплатой 4 тыс. руб. Годовая процентная ставка в течение всего периода остается постоянной, и сложные проценты начисляются ежеквартально. По какой цене можно приобрести эту ренту сейчас, если выплаты начнут осуществляться немедленно, а сложная процентная ставка равна 32% годовых?


Задача 40

Клиент обратился в банк с просьбой о предоставлении кредита на покупку автомобиля, сроком на 1,5 года, уведомив банк, что ежемесячно может перечислять 1000 долларов. На какую сумму кредита может рассчитывать клиент, если процентная ставка, предложенная банком, составляет 9%. Определить издержки клиента по кредиту.


Задача 41

Определите текущую стоимость обязательных ежемесячных платежей размером 150 тыс. денежных единиц в течение 10 лет, если процентная ставка составляет 14,2% годовых.


Задача 42

Определите современную стоимость обычных ежеквартальных платежей размером 64 тыс. ден. ед. в течение 2 лет, если учетная ставка 18,5% годовых.


Задача 43

Инвестиции производятся на протяжении 4 лет один раз в конце года по 2 млн. руб. Ставка сложных процентов 17% годовых. Найти современную стоимость инвестиций.


Задача 44

Найти современную стоимость годовой ренты, если проценты начисляются по номинальной ставке 16% ежемесячно, член ренты 50 000 руб., срок ренты 4 года.


Задача 45

Для формирования фонда ежеквартально делаются взносы по 100 000 руб., Проценты начисляются один раз в год по ставке 17%. Найти современную стоимость фонда, который будет накоплен к концу пятилетнего срока.


Задача 46

Для формирования фонда ежеквартально делаются взносы по 100 000 руб., Проценты начисляются ежемесячно по номинальной ставке 17%. Найти современную стоимость фонда, накопленного к концу пятилетнего срока. Полученную сумму сравните с результатом предыдущей задачи.

На сайте можно заказать решение задач, контрольных, самостоятельных, домашних работ (возможно срочное решение). Для этого вам нужно только связаться со мной:

Телеграм @helptask
ВКонтакте (vk.com/task100)
WhatsApp +7 (968) 849-45-98

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.


Задача 47

Определите размер равных ежегодных взносов, которые необходимо делать для погашения в течение 3 лет текущего долга в размере 1 млн. руб., если ставка сложных процентов 17% годовых.


Задача 48

За счет привлеченных средств сделаны инвестиции в размере 10 млн. руб. расчетная отдача от них составляет по 2,2 млн. руб. в конце каждого года. За какой срок окупятся инвестиции, если на долг начисляются проценты по квартальной ставке 4%?


Задача 49

Для создания фонда развития фирма помещает в банк ежегодно 43,4 млн. р.  в течение пяти лет под 17,5% годовых (сложные проценты начисляются раз в квартал). Определите современную величину ренты.


Задача 50

Каждый член ренты 2000 д.е., выплачиваемый в конце года, дисконтируется сложными процентами по годовой процентной ставке 0,08. Определите современную величину ренты при условии, что срок ренты равен 10 годам.


Задача 51

Фирма предлагает покупателю свою продукцию на сумму 2000 тыс. руб. с условием ее оплаты в рассрочку в течение двух лет под 14% годовых (проценты сложные). Платежи должны вноситься в конце каждого квартала, проценты начисляются один раз в конце года. Определить величину квартального платежа.


Задача 52

Вам предлагают сдать в аренду участок земли на пять лет, выбрав один из двух вариантов оплаты аренды: а) 10 тыс. руб. в конце каждого года; б) 80 тыс. руб. в конце пятилетнего периода. Какой вариант более предпочтителен, если банк предлагает 15% годовых по вкладам.


Задача 53

Вам предложено инвестировать 500 тыс. руб. на срок пять лет при условии возврата этой суммы частями (ежегодно по 100 тыс. руб. в конце года). По истечении пяти лет выплачивается дополнительное вознаграждение в размере 100 тыс. руб. Принимать ли это предложение, если можно разместить деньги в банке из расчета 14% годовых?