Наивероятнейшее число наступления события
Краткая теория
Число наступлений события
, которому отвечает наибольшая вероятность,
называют наивероятнейшим числом наступления события
.
Если построен полигон распределения, то
наивероятнейшее число наступления события – это абсцисса наиболее высокой точки
полигона.
Пусть
– наивероятнейшее
число наступления события
, тогда
Отсюда:
Формула для определения наивероятнейшего числа
Итак, наивероятнейшее число
определяется двойным
неравенством:
Так как выражение
, то всегда существует целое число
, удовлетворяющее написанному выше двойному
неравенству. При этом если
– целое
число, то наивероятнейших чисел два.
Смежные темы решебника:
Примеры решения задач
Пример 1
При данном технологическом процессе 77% всей продукции - 1-го сорта. Найдите наивероятнейшее число первосортных изделий из 220 изделий и вероятность этого события.
Решение
Если по каким-либо причинам не справляетесь с решением задач, на портале можно заказать выполнение расчетной домашней работы, ИДЗ, РГР, контрольной и даже отдельных задач в разумные сроки. Чтобы вы смогли сделать заказ, я доступен по следующим каналам связи:
Контакты будут для вас
видны на территории
России и Беларуси
Общение без посредников. Удобная оплата переводом на банковскую карту. Опыт работы более 25 лет.
Подробное решение в формате электронного документа получите точно в срок или раньше.
Наивероятнейшее число первосортных изделий найдем из двойного неравенства:
Воспользуемся локальной теоремой Лапласа:
Вероятность
того, что в
независимых испытания, в каждом из которых
вероятность появления события равна
, событие наступит ровно
раз:
в нашем случае:
Искомая вероятность:
Ответ: Наивероятнейшее число – 170, вероятность этого события – 0,064.
Пример 2
Вероятность выигрыша в лотерею на один билет равна 0,3. Куплено 20 билетов. Найти наивероятнейшее число выигравших билетов и соответствующую вероятность.
Решение
Наивероятнейшее число выигравших билетов найдем из двойного неравенства:
Найдем соответствующую вероятность. Для этого воспользуемся законом Бернулли:
Ответ:
Пример 3
Вероятность появления события в каждом испытании равна 0,7. Сколько нужно провести испытаний, чтобы наивероятнейшее число появлений события равнялось 10?
Решение
Если по каким-либо причинам не справляетесь с решением задач, на портале можно заказать выполнение расчетной домашней работы, ИДЗ, РГР, контрольной и даже отдельных задач в разумные сроки. Чтобы вы смогли сделать заказ, я доступен по следующим каналам связи:
Контакты будут для вас
видны на территории
России и Беларуси
Общение без посредников. Удобная оплата переводом на банковскую карту. Опыт работы более 25 лет.
Подробное решение в формате электронного документа получите точно в срок или раньше.
Наивероятнейшее число определяется двойным неравенством:
В нашем случае:
Из первого неравенства:
Из второго неравенства:
Так как
– целое число, получаем,
Необходимо провести 14 испытаний.
Ответ: 14 испытаний.
Пример 4
За смену работник ГАИ проходит техосмотр 30 автомашин. Вероятность того, что произвольная автомашина не пройдет техосмотр равна 0,1. Каково наивероятнейшее число автомашин, не прошедших техосмотр в течение одной смены.
Решение
Для определения наивероятнейшего числа автомашин, не прошедших техосмотр в течение одной смены, воспользуемся двойным неравенством:
Искомое наивероятнейшее число не прошедших техосмотр автомашин:
Ответ:
Задачи контрольных и самостоятельных работ
Задача 1
Вероятность хотя бы одного попадания при двух выстрелах равна 0,84. Найти: а) наивероятнейшее число попаданий в серии из семи выстрелов и модальную вероятность; б) что вероятнее: три попадания при четырех выстрелах или шесть попаданий при восьми?
Если по каким-либо причинам не справляетесь с решением задач, на портале можно заказать выполнение расчетной домашней работы, ИДЗ, РГР, контрольной и даже отдельных задач в разумные сроки. Чтобы вы смогли сделать заказ, я доступен по следующим каналам связи:
Контакты будут для вас
видны на территории
России и Беларуси
Общение без посредников. Удобная оплата переводом на банковскую карту. Опыт работы более 25 лет.
Подробное решение в формате электронного документа получите точно в срок или раньше.
Задача 2
Вероятность получения с конвейера изделий 1 сорта равна 9/10. Определить вероятность того, что из взятых на проверку 600 изделий 530 будут 1 сорта. Определить наивероятнейшее число изделий первого сорта.
Задача 3
На ежегодную вечеринку приглашены 12 человек, причем каждый из них может прийти с вероятностью 0,7 независимо от других. Найти наиболее вероятное число гостей и его вероятность.
Задача 4
Система состоит из 6 независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента равна 0,3. Найти: а) наивероятнейшее число отказавших элементов; б) вероятность наивероятнейшего числа отказавших элементов системы; в) вероятность отказа системы, если для этого достаточно, чтобы отказали пять элементов.
Задача 5
При визите страхового агента вероятность заключения договора равна 0,2. Найти наивероятнейшее число заключенных договоров после 10 визитов и вероятность того, что их будет заключено не больше найденного числа.
Задача 6
Страховой агент при каждом визите заключает договор с вероятностью 30%. При каком числе визитов наивероятнейшее число договоров будет равно 10?
Задача 7
Сколько надо сделать выстрелов с вероятностью попадания в цель 0,7, чтобы наивероятнейшее число попаданий в цель было равно 15?
Если по каким-либо причинам не справляетесь с решением задач, на портале можно заказать выполнение расчетной домашней работы, ИДЗ, РГР, контрольной и даже отдельных задач в разумные сроки. Чтобы вы смогли сделать заказ, я доступен по следующим каналам связи:
Контакты будут для вас
видны на территории
России и Беларуси
Общение без посредников. Удобная оплата переводом на банковскую карту. Опыт работы более 25 лет.
Подробное решение в формате электронного документа получите точно в срок или раньше.
Задача 8
Сколько раз надо бросить игральную кость, чтобы наивероятнейшее число появлений четного числа очков было равно 6?
Задача 9
Сколько раз надо сыграть партии в шахматы с вероятностью победы в одной партии, равной 1/3, чтобы наивероятнейшее число побед было равно 5?
Задача 10
Вероятность сдачи студентом каждого из семи зачетов равна 0,3. Найти вероятность сдачи: а) пяти зачетов; б) наивероятнейшего числа зачетов; в) хотя бы одного зачета.
Задача 11
Страховая компания выплачивает страховку в среднем 15% от всех клиентов.
а) Найти вероятность того, что из 8-ми клиентов страховку выплатит менее, чем 2-м клиентам.
б) Найти наивероятнейшее число клиентов, получивших страховку.
Задача 12
Применяемый метод лечения в 80% случаев приводит к выздоровлению. Найти вероятность того, что из четырех больных поправятся:
а) трое;
б) хотя бы один;
в) найти наивероятнейшее количество поправившихся больных и соответствующую этому событию вероятность.
Задача 13
Вероятность попадания в цель одним выстрелом равна 0,5. Производят пять выстрелов. Найти: а) Распределение вероятностей числа попаданий; б) Наивероятнейшее число попаданий; в) Вероятность, что попаданий будет не более двух.
Задача 14
Монету подбрасывают 9 раз. Какова вероятность, что монета 6 раз упадет гербом вверх? Определите наивероятнейшее число выпадения герба и вычислите вероятность этого события.
Задача 15
Имеется 20 ящиков однородных деталей. Вероятность того, что в одном взятом наудачу ящике детали окажется стандартными, равна 0,75. Найти наивероятнейшее число ящиков, в которых все детали стандартные.