Наивероятнейшее число наступления события

Краткая теория


Число наступлений события , которому отвечает наибольшая вероятность, называют наивероятнейшим числом наступления события . Если построен полигон распределения, то наивероятнейшее число наступления события – это абсцисса наиболее высокой точки полигона.

Пусть  – наивероятнейшее число наступления события , тогда

Отсюда:

Формула для определения наивероятнейшего числа

Итак, наивероятнейшее число   определяется двойным неравенством:

Так как выражение , то всегда существует целое число , удовлетворяющее написанному выше двойному неравенству. При этом если  – целое число, то наивероятнейших чисел два.

Смежные темы решебника:

Примеры решения задач


Пример 1

При данном технологическом процессе 77% всей продукции - 1-го сорта.  Найдите   наивероятнейшее    число   первосортных   изделий из  220 изделий и вероятность этого события.

Решение

Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь - свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

Наивероятнейшее число первосортных   изделий найдем из двойного неравенства:

Воспользуемся локальной теоремой Лапласа:

Вероятность того, что в  независимых испытания, в каждом из которых вероятность появления события равна , событие наступит ровно  раз:

в нашем случае: 

Искомая вероятность:

 

Ответ: Наивероятнейшее число – 170, вероятность этого события – 0,064.


Пример 2

Вероятность выигрыша в лотерею на один билет равна 0,3. Куплено 20 билетов. Найти наивероятнейшее число выигравших билетов и соответствующую вероятность.

Решение

Наивероятнейшее число выигравших билетов найдем из двойного неравенства:

Найдем соответствующую вероятность. Для этого воспользуемся законом Бернулли:

Ответ: 


Пример 3

Вероятность появления события в каждом испытании равна 0,7. Сколько нужно провести испытаний, чтобы наивероятнейшее число появлений события равнялось 10?

Решение

Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь - свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

Наивероятнейшее число определяется двойным неравенством:

В нашем случае:

Из первого неравенства:

Из второго неравенства:

Так как  – целое число, получаем,

Необходимо провести 14 испытаний.

Ответ: 14 испытаний.


Пример 4

За смену работник ГАИ проходит техосмотр 30 автомашин. Вероятность того, что произвольная автомашина не пройдет техосмотр равна 0,1. Каково наивероятнейшее число автомашин, не прошедших техосмотр в течение одной смены.

Решение

Для определения наивероятнейшего числа автомашин, не прошедших техосмотр в течение одной смены, воспользуемся двойным неравенством:

Искомое наивероятнейшее число не прошедших техосмотр автомашин:

Ответ: 

Задачи контрольных и самостоятельных работ


Задача 1

Вероятность хотя бы одного попадания при двух выстрелах равна 0,84. Найти: а) наивероятнейшее число попаданий в серии из семи выстрелов и модальную вероятность; б) что вероятнее: три попадания при четырех выстрелах или шесть попаданий при восьми?


Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь - свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

Задача 2

Вероятность получения с конвейера изделий 1 сорта равна 9/10. Определить вероятность того, что из взятых на проверку 600 изделий 530 будут 1 сорта. Определить наивероятнейшее число изделий первого сорта.


Задача 3

На ежегодную вечеринку приглашены 12 человек, причем каждый из них может прийти с вероятностью 0,7 независимо от других. Найти наиболее вероятное число гостей и его вероятность.


Задача 4

Система состоит из 6 независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента равна 0,3. Найти: а) наивероятнейшее число отказавших элементов; б) вероятность наивероятнейшего числа отказавших элементов системы; в) вероятность отказа системы, если для этого достаточно, чтобы отказали пять элементов.


Задача 5

При визите страхового агента вероятность заключения договора равна 0,2. Найти наивероятнейшее число заключенных договоров после 10 визитов и вероятность того, что их будет заключено не больше найденного числа.


Задача 6

Страховой агент при каждом визите заключает договор с вероятностью 30%. При каком числе визитов наивероятнейшее число договоров будет равно 10?


Задача 7

Сколько надо сделать выстрелов с вероятностью попадания в цель 0,7, чтобы наивероятнейшее число попаданий в цель было равно 15?


Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь - свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

Задача 8

Сколько раз надо бросить игральную кость, чтобы наивероятнейшее число появлений четного числа очков было равно 6?


Задача 9

Сколько раз надо сыграть партии в шахматы с вероятностью победы в одной партии, равной 1/3, чтобы наивероятнейшее число побед было равно 5?


Задача 10

Вероятность сдачи студентом каждого из семи зачетов равна 0,3. Найти вероятность сдачи: а) пяти зачетов; б) наивероятнейшего числа зачетов; в) хотя бы одного зачета.


Задача 11

Страховая компания выплачивает страховку в среднем 15% от всех клиентов.

а) Найти вероятность того, что из 8-ми клиентов страховку выплатит менее, чем 2-м клиентам.

б) Найти наивероятнейшее число клиентов, получивших страховку.


Задача 12

Применяемый метод лечения в 80% случаев приводит к выздоровлению. Найти вероятность того, что из четырех больных поправятся:

а) трое;

б) хотя бы один;

в) найти наивероятнейшее количество поправившихся больных и соответствующую этому событию вероятность.


Задача 13

Вероятность попадания в цель одним выстрелом равна 0,5. Производят пять выстрелов. Найти: а) Распределение вероятностей числа попаданий; б) Наивероятнейшее число попаданий; в) Вероятность, что попаданий будет не более двух.


Задача 14

Монету подбрасывают 9 раз. Какова вероятность, что монета 6 раз упадет гербом вверх? Определите наивероятнейшее число выпадения герба и вычислите вероятность этого события.


Задача 15

Имеется 20 ящиков однородных деталей. Вероятность того, что в одном взятом наудачу ящике детали окажется стандартными, равна 0,75. Найти наивероятнейшее число ящиков, в которых все детали стандартные.