Геометрическая вероятность события
Краткая теория
Одним из недостатков классического определения вероятности, ограничивающим его применение, является то, что оно предполагает конечное число возможных исходов испытания.
Этот недостаток можно преодолеть, используя геометрическое определение вероятности, т.е. находя вероятность попадания точки в некоторую область (отрезок, часть плоскости и т.п.).
Пусть, например, плоская фигура
составляет
часть плоской фигуры
. На фигуру
наудачу бросается
точка. Это означает, что все точки области
равноправны
в отношении попадания туда брошенной случайной точки. Полагая, что вероятность
события
- попадания
брошенной точки на фигуру
- пропорциональна
площади этой фигуры и не зависит ни от ее расположения относительно
, ни от формы
, найдем:
где
и
– соответственно
площади областей
и
.
Фигуру
называют
благоприятствующей событию
.
Область, на которую распространяется понятие геометрической вероятности, может быть одномерной (прямая, отрезок) или трехмерной (некоторое тело в пространстве). Получаем следующее определение геометрической вероятности:
Определение геометрической вероятности
Геометрической вероятностью события
называется
отношение меры области, благоприятствующей появлению события
, к мере всей области.
Смежные темы решебника:
Примеры решения задач
Пример 1
Задача о встрече
Двое договорились встретиться в течение часа. Первый пришедший ждет второго 10 минут. Найти вероятность, что встреча произойдет.
Решение
На сайте можно заказать решение задач, контрольных, самостоятельных, домашних работ (возможно срочное решение). Для этого вам нужно только связаться со мной:
Телеграм (+7 968 849-45-98)
ВКонтакте
WhatsApp (+7 968 849-45-98)
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту. Опыт работы более 25 лет.
Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.
Обозначим время появления каждого из событий
соответственно через х и у. В
силу условия задачи должны выполняться неравенства:
;
(события происходят в интервале 1 час).
Введем в рассмотрение прямоугольную системы
координат
.
В этой системе двойным неравенствам удовлетворяют координаты любой точки,
принадлежащей квадрату
.
Таким образом, эту фигуру можно
рассматривать как фигуру G,
координаты точек которой представляют все возможные значения моментов появления событий.
События перекроются во времени, если разность появления их:
Этим неравенствам удовлетворяют точки, принадлежащие
области
.
Эту область можно рассматривать как фигуру
,
координаты точек которой являются благоприятствующими перекрыванию событий по
времени.
Вероятность того, что события перекрываются по времени (два человека встретятся):
Ответ:
.
Пример 2
Внутри
круга радиусом
наудачу брошена точка. Найти вероятность того,
что точка окажется внутри вписанного в круг правильного шестиугольника.
Решение
Вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в круг правильного шестиугольника:
Площадь
правильного многоугольника с числом сторон
, вписанного в окружность
радиуса
составляет:
Площадь круга:
Искомая вероятность:
Ответ:
Задачи контрольных и самостоятельных работ
Задача 1
На некоторое обслуживающие устройство поступают две заявки. Каждая может поступить в любой момент времени в течение времени T=150 минут. Время обслуживания первой заявки τ1=20 минут, второй τ2=40 минут. При поступлении заявки на свободное устройство даже в последний момент времени T, она обслуживается. Найти вероятность того, что 1) обе заявки будут обслужены; 2) будет обслужена ровно одна заявка.
Задача 2
Какова вероятность того, что сумма двух наугад взятых положительных чисел, каждое из которых не больше X=5, не превзойдет X, а их произведение будет не больше Y=0,4?
Задача 3
Случайные величины X, Y независимы и равномерно распределены на отрезках: X - на [0,3], Y - на [0,4]. Найти вероятность P(X<Y).
Задача 4
В круг радиусом 4 см брошена точка. Найти вероятность того, что она удалена от центра круга не более чем на 1 см.
На сайте можно заказать решение задач, контрольных, самостоятельных, домашних работ (возможно срочное решение). Для этого вам нужно только связаться со мной:
Телеграм (+7 968 849-45-98)
ВКонтакте
WhatsApp (+7 968 849-45-98)
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту. Опыт работы более 25 лет.
Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.
Задача 5
В круг радиуса R вписан квадрат. Внутрь круга наудачу брошены 3 точки. Найти вероятность того, что все точки попали внутрь одного из малых сегментов.
Задача 6
На 200-км газопроводе между компрессорными станциями А и В происходит утечка газа. Утечка равновозможная в любой точке газопровода. Найти вероятность того, что она расположена:
а) не далее 20 км от какой-нибудь из компрессорных станций А, В.
б) ближе к А, чем к В.
Задача 7
В квадрате стороной 10 наудачу появляется точка. Найти вероятность того, что она попадет вне вписанного в квадрат круга.
Задача 8
Решить задачу, используя геометрическое определение вероятности.
В куб вписан шар. Точка наудачу зафиксирована в кубе. Найти вероятность того, что точка попадет в шар.
Задача 9
Решить задачу, используя геометрическое определение вероятности.
В прямоугольник с вершинами N(1;0),K(-2;0),L(-2;5),M(1;5) наудачу брошена точка Q(x;y). Найти вероятность того, что координаты этой точки удовлетворяют неравенствам x2+1≤y≤3-x