Доверительные интервалы для среднего и дисперсии

Доверительный интервал для математического ожидания нормальной случайной величины при неизвестной дисперсии

Пусть , причем  и  неизвестны.  Необходимо построить доверительный интервал, накрывающий с надежностью  истинное значение параметра .

Для этого из генеральной совокупности СВ  извлекается выборка объема : .

1) В качестве точечной оценки математического ожидания  используется выборочное среднее , а в качестве оценки дисперсии  – исправленная выборочная дисперсия

которой соответствует стандартное отклонение .

2) Для нахождения доверительного интервала строится статистика

имеющая в этом случае распределение Стьюдента с числом степеней свободы  независимо от значений параметров  и .

3) Задается требуемый уровень значимости .

4) Применяется следующая формула расчета вероятности:

где  – критическая точка распределения Стьюдента, которая находится по таблице критических точек распределения Стьюдента (односторонняя критическая область).

Тогда:

Это означает, что интервал:

накрывает неизвестный параметр  с надежностью

Доверительный интервал для математического ожидания нормальной случайной величины при известной дисперсии

Пусть количественный признак  генеральной совокупности имеет нормальное распределение  с заданной дисперсией  и неизвестным математическим ожиданием .  Построим доверительный интервал для .

1) Пусть для оценки  извлечена выборка  объема . Тогда

2) Составим случайную величину:

Нетрудно показать, что случайная величина имеет стандартизированное нормальное распределение, то есть:

3) Зададим уровень значимости .

4) Применяя формулу нахождения вероятности отклонения нормальной величины от математического ожидания, имеем:

Это означает, что доверительный интервал

накрывает неизвестный параметр  с надежностью . Точность оценки определяется величиной:

Число  определяется по таблице значений функции Лапласа из равенства

Окончательно получаем:

Доверительный интервал для дисперсии нормальной случайной величины при неизвестном математическом ожидании

Пусть , причем  и  – неизвестны. Пусть для оценки  извлечена выборка объема : .

1) В качестве точечной оценки дисперсии  используется исправленная выборочная дисперсия :

которой соответствует стандартное отклонение .

2) При нахождении доверительного интервала для дисперсии в этом случае вводится статистика

имеющая  – распределение с числом степеней свободы  независимо от значения параметра .

3) Задается требуемый уровень значимости .

4) Тогда, используя таблицу критических точек хи-квадрат распределения, нетрудно указать критические точки , для которых будет выполняться следующее равенство:

Подставив вместо  соответствующее значение, получим:

Получаем доверительный интервал для неизвестной дисперсии:

Доверительный интервал для дисперсии нормальной случайной величины при известном математическом ожидании

Пусть , причем  – известна, а  – неизвестна. Пусть для оценки  извлечена выборка объема : .

1) В качестве точечной оценки дисперсии  используется выборочная дисперсия:

2) При нахождении доверительного интервала для дисперсии в этом случае вводится статистика

имеющая  – распределение с числом степеней свободы  независимо от значения параметра .

3) Задается требуемый уровень значимости .

4) Тогда, используя таблицу критических точек хи-квадрат распределения, нетрудно указать критические точки , для которых будет выполняться следующее равенство:

Подставив вместо  соответствующее значение, получим:

Получаем доверительный интервал для неизвестной дисперсии:

Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения

Извлекая квадратный корень:

Положив:

Получим следующий доверительный интервал для среднего квадратического отклонения:

Для отыскания  по заданным  и  пользуются специальными таблицами.

Для проверки на нормальность заданного распределения случайной величины можно использовать правило трех сигм.

Условие задачи

Имеется три независимых реализации нормальной случайной величины: 0.8, 3.2, 2.0.

Построить доверительные интервалы для среднего и дисперсии с надежностью  

Указание: воспользоваться таблицами Стьюдента и хи-квадрат.

Решение задачи

Вычисление средней и дисперсии

Вычислим среднее и исправленную дисперсию :

Нахождение доверительных интервалов для средней и дисперсии

Найдем доверительный интервал для оценки неизвестного среднего. Он считается по формуле:

По таблице критических точек t-критерия Стьюдента, для уровня значимости  (односторонняя критическая область):

 Искомый доверительный интервал для среднего:

 

Найдем доверительный интервал для оценки дисперсии. Он считается по формуле:

Для уровня значимости  и  получаем по таблице значений хи-квадрат:

Искомый доверительный интервал для дисперсии:

Ответ

Кроме этой задачи на другой странице сайта есть пример расчета доверительного интервала математического ожидания и среднего квадратического отклонения для интервального вариационного ряда

К оглавлению решебника по теории вероятностей и математической статистике ⟩