Доверительные интервалы для среднего и дисперсии

Краткая теория

Доверительный интервал для математического ожидания нормальной случайной величины при неизвестной дисперсии

Пусть , причем и неизвестны. Необходимо построить доверительный интервал, накрывающий с надежностью истинное значение параметра .

Для этого из генеральной совокупности СВ извлекается выборка объема : .

1) В качестве точечной оценки математического ожидания используется выборочное среднее , а в качестве оценки дисперсии – исправленная выборочная дисперсия

которой соответствует стандартное отклонение .

2) Для нахождения доверительного интервала строится статистика

имеющая в этом случае распределение Стьюдента с числом степеней свободы независимо от значений параметров и .

3) Задается требуемый уровень значимости .

4) Применяется следующая формула расчета вероятности:

где – критическая точка распределения Стьюдента, которая находится по таблице критических точек распределения Стьюдента (односторонняя критическая область).

Тогда:

Это означает, что интервал:

накрывает неизвестный параметр с надежностью

Доверительный интервал для математического ожидания нормальной случайной величины при известной дисперсии

Пусть количественный признак генеральной совокупности имеет нормальное распределение с заданной дисперсией и неизвестным математическим ожиданием . Построим доверительный интервал для .

1) Пусть для оценки извлечена выборка объема . Тогда

2) Составим случайную величину:

Нетрудно показать, что случайная величина имеет стандартизированное нормальное распределение, то есть:

3) Зададим уровень значимости .

4) Применяя формулу нахождения вероятности отклонения нормальной величины от математического ожидания, имеем:

Это означает, что доверительный интервал

накрывает неизвестный параметр с надежностью . Точность оценки определяется величиной:

Число определяется по таблице значений функции Лапласа из равенства

Окончательно получаем:

Доверительный интервал для дисперсии нормальной случайной величины при неизвестном математическом ожидании

Пусть , причем и – неизвестны. Пусть для оценки извлечена выборка объема : .

1) В качестве точечной оценки дисперсии используется исправленная выборочная дисперсия:

которой соответствует стандартное отклонение .

2) При нахождении доверительного интервала для дисперсии в этом случае вводится статистика

имеющая – распределение с числом степеней свободы независимо от значения параметра .

3) Задается требуемый уровень значимости .

4) Тогда, используя таблицу критических точек хи-квадрат распределения, нетрудно указать критические точки , для которых будет выполняться следующее равенство:

Подставив вместо соответствующее значение, получим:

Получаем доверительный интервал для неизвестной дисперсии:

Доверительный интервал для дисперсии нормальной случайной величины при известном математическом ожидании

Пусть , причем – известна, а – неизвестна. Пусть для оценки извлечена выборка объема : .

1) В качестве точечной оценки дисперсии используется выборочная дисперсия:

2) При нахождении доверительного интервала для дисперсии в этом случае вводится статистика

имеющая – распределение с числом степеней свободы независимо от значения параметра .

3) Задается требуемый уровень значимости .

Подставив вместо соответствующее значение, получим:

Получаем доверительный интервал для неизвестной дисперсии:

Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения

Извлекая квадратный корень:

Положив:

Получим следующий доверительный интервал для среднего квадратического отклонения:

Для отыскания по заданным и пользуются специальными таблицами.

Смежные темы решебника:

Примеры решения задач

Пример 1

Скачать пример 1 в формате pdf

Имеется три независимых реализации нормальной случайной величины: 0.8, 3.2, 2.0.

Построить доверительные интервалы для среднего и дисперсии с надежностью

Указание: воспользоваться таблицами Стьюдента и хи-квадрат.

Решение

На сайте можно заказать решение задач, контрольных, самостоятельных, домашних работ (возможно срочное решение), а также онлайн-помощь на экзамене или зачете. Для этого вам нужно только связаться со мной 24/7:

Телеграм @helptask
ВКонтакте (vk.com/task100)
WhatsApp +7 (968) 849-45-98

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту. Срок решения - от 1 часа. Цена - от 200 рублей.

Подробное решение получите точно в срок или раньше.

Вычисление средней и дисперсии

Вычислим среднее и исправленную дисперсию:

Нахождение доверительных интервалов для средней и дисперсии

Найдем доверительный интервал для оценки неизвестного среднего. Он считается по формуле:

По таблице критических точек t-критерия Стьюдента, для уровня значимости (односторонняя критическая область):

Искомый доверительный интервал для среднего:

Найдем доверительный интервал для оценки дисперсии. Он считается по формуле:

Для уровня значимости и получаем по таблице значений хи-квадрат:

Искомый доверительный интервал для дисперсии:

Ответ

Пример 2

Скачать пример 2 в формате pdf

По результатам 50-ти измерений непрерывной случайной величины

1) Вычислить основные характеристики выборки: размах выборки, среднее значение, медиану, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

2) Найти доверительный интервал для математического ожидания величины . Доверительную вероятность принять равной 0,95.

0,83	3,16	0,02	-1,15	3,01	-0,90	0,86	0,54	1,36	0,15
1,96	1,60	1,19	1,54	0,24	0,45	1,51	1,40	2,40	1,21
-0,01	2,44	0,84	0,65	0,97	2,66	1,06	0,88	-0,82	1,93
0,30	0,89	1,77	0,74	-0,09	1,90	1,57	-0,32	1,66	0,41
1,42	2,16	1,23	-1,03	0,20	0,62	0,04	2,33	1,11	1,71

Решение

1) Составим вариационный ряд. Расположим значения по возрастанию.

-1,15	-1,03	-0,9	-0,82	-0,32	-0,09	-0,01	0,02	0,04	0,15
0,2	0,24	0,3	0,41	0,45	0,54	0,62	0,65	0,74	0,83
0,84	0,86	0,88	0,89	0,97	1,06	1,11	1,19	1,21	1,23
1,36	1,4	1,42	1,51	1,54	1,57	1,6	1,66	1,71	1,77
1,9	1,93	1,96	2,16	2,33	2,4	2,44	2,66	3,01	3,16

Размах выборки:

Среднее значение:

Медиана:

Средняя квадратов:

Выборочная дисперсия:

Выборочное среднее квадратическое отклонение:

Исправленная выборочная дисперсия:

Исправленное среднее квадратическое отклонение:

2) Найдем доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания . Он считается по формуле:

По таблице распределения Стьюдента, для уровня значимости (односторонняя критическая область):

Искомый доверительный интервал для математического ожидания:

Пример 3

Скачать пример 3 в формате pdf

Выборочные совокупности заданы из соответствующих генеральных совокупностей. Требуется:

1. Составить интервальное распределение выборки с шагом , взяв за начало первого интервала .

2. Найти ; ; ; .

3. Найти с надежностью доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания признака генеральной совокупности, если признак распределен по нормальному закону и его среднее квадратическое отклонение равно .

В районной сберегательной кассе проведено выборочное обследование 25 вкладов, которое дало следующие результаты (в руб.):

750	2100	3500	3500	4000	5200	5400	5600	5900	6800
7000	7000	7200	7500	7800	7900	8100	8500	8750	8900
9000	10000	11000	12000	12500

; . ;

Решение

Телеграм @helptask
ВКонтакте (vk.com/task100)
WhatsApp +7 (968) 849-45-98

Подробное решение получите точно в срок или раньше.

Вычислим границы интервалов и подсчитаем число значений, которые будут попадать в соответствующие интервалы.

Интервалы, руб.	Частота,
500 - 2500	2
2500 - 4500	3
4500 - 6500	4
6500 - 8500	8
8500 - 10500	6
10500 - 12500	2
Итого	25

2) Вычислим характеристики распределения. Составим расчетную таблицу:

Интервалы, руб.		Частота,
500 - 2500	1500	2	3000	4500000
2500 - 4500	3500	3	10500	36750000
4500 - 6500	5500	4	22000	121000000
6500 - 8500	7500	8	60000	450000000
8500 - 10500	9500	6	57000	541500000
10500 - 12500	11500	2	23000	264500000
Итого	---	25	175500	1418250000

Средняя:

Средняя квадратов:

Выборочная дисперсия:

Выборочное среднее квадратическое отклонение:

Исправленная дисперсия:

Исправленная выборочная дисперсия:

3 ) Найдем с надежностью доверительный интервал для математического ожидания при известной генеральной дисперсии.

Доверительный интервал можно найти по формуле:

Исходя из равенства по таблице функции Лапаса

Искомый доверительный интервал:

Пример 4

Скачать пример 4 в формате pdf

Даны измерения 100 обработанных деталей. В таблице указаны значения отклонений от проектного размера и соответствующие им частоты (считать, что признак - отклонения от проектного размера подчиняется нормальному закону распределения).

	(-2; 1,5]	(-1,5; -1]	(-1; -0,5]	(-0,5; 0]	(-0; 0,5]	(0,5; 1]	(1; 1,5]	(1,5; 2]
	2	6	11	17	22	19	14

Требуется:

1) Записать соответствующее дискретное распределение выборки.

2) Вычислить основные выборочные характеристики.

3) Найти несмещенные оценки для неизвестных математического ожидания и дисперсии СВ.

4) С надежностью 95% указать доверительный интервал для оценки генеральной средней и генерального среднего квадратического отклонения.

Решение

Телеграм @helptask
ВКонтакте (vk.com/task100)
WhatsApp +7 (968) 849-45-98

Подробное решение получите точно в срок или раньше.

1) Запишем дискретное распределение выборки и для расчета характеристик составим расчетную таблицу:

(-2; -1,5]	(-1,5; -1]	(-1; -0,5]	(-0,5; 0]	(0; 0,5]	(0,5; 1]	(1; 1,5]	(1,5; 2]	Итого
2	6	11	17	22	19	14	9	100
-1,75	-1,25	-0,75	-0,25	0,25	0,75	1,25	1,75	---
-3,5	-7,5	-8,25	-4,25	5,5	14,25	17,5	15,75	29,5
6,13	9,38	6,19	1,06	1,38	10,69	21,88	27,56	84,25

2) Выборочная средняя:

Средняя квадратов:

Выборочная дисперсия:

Среднее квадратическое отклонение:

3) Несмещенной оценкой математического ожидания служит выборочная средняя:

Несмещенной оценкой дисперсии служит исправленная дисперсия:

Исправленное среднее квадратическое отклонение:

4)Найдем доверительный интервал для оценки генеральной средней. Он считается по формуле:

По таблице распределения Стьюдента, для уровня значимости :

Искомый доверительный интервал для среднего:

Найдем доверительный интервал для оценки дисперсии. Он считается по формуле:

Для уровня значимости и получаем по таблице значений хи-квадрат:

Доверительный интервал для дисперсии:

Соответствующий доверительный интервал для генерального среднего квадратического отклонения:

К оглавлению решебника

Телеграм @helptask
ВКонтакте (vk.com/task100)
WhatsApp +7 (968) 849-45-98

Подробное решение получите точно в срок или раньше.