Доверительные интервалы для среднего и дисперсии
- Математическое ожидание при неизвестной генеральной дисперсии
- Математическое ожидание при известной генеральной дисперсии
- Дисперсия при неизвестном математическом ожидании
- Дисперсия при известном математическом ожидании
- Среднее квадратическое отклонение
Доверительный интервал для математического ожидания нормальной случайной величины при неизвестной дисперсии
Пусть
, причем
и
неизвестны. Необходимо построить доверительный интервал,
накрывающий с надежностью
истинное значение параметра
.
Для этого из генеральной
совокупности СВ
извлекается
выборка объема
:
.
1) В качестве точечной
оценки математического ожидания
используется
выборочное среднее
, а в
качестве оценки дисперсии
–
исправленная выборочная дисперсия
которой соответствует стандартное отклонение
.
2) Для нахождения доверительного интервала строится статистика
имеющая в этом случае распределение Стьюдента с
числом степеней свободы
независимо
от значений параметров
и
.
3) Задается требуемый
уровень значимости
.
4) Применяется следующая формула расчета вероятности:
где
–
критическая точка распределения Стьюдента, которая находится по таблице критических точек распределения Стьюдента (односторонняя критическая область).
Тогда:
Это означает, что интервал:
накрывает неизвестный
параметр
с
надежностью
Доверительный интервал для математического ожидания нормальной случайной величины при известной дисперсии
Пусть количественный
признак
генеральной
совокупности имеет нормальное распределение
с
заданной дисперсией
и
неизвестным математическим ожиданием
. Построим
доверительный интервал для
.
1) Пусть для оценки
извлечена
выборка
объема
. Тогда
2) Составим случайную величину:
Нетрудно показать, что случайная величина
имеет стандартизированное нормальное распределение, то есть:
3) Зададим уровень
значимости
.
4) Применяя формулу нахождения вероятности отклонения нормальной величины от математического ожидания, имеем:
Это означает, что доверительный интервал
накрывает неизвестный
параметр
с надежностью
. Точность оценки определяется величиной:
Число
определяется
по таблице значений функции Лапласа из равенства
Окончательно получаем:
Доверительный интервал для дисперсии нормальной случайной величины при неизвестном математическом ожидании
Пусть
, причем
и
–
неизвестны. Пусть для оценки
извлечена выборка объема
:
.
1) В качестве точечной оценки дисперсии
используется
исправленная выборочная дисперсия
:
которой соответствует стандартное отклонение
.
2) При нахождении доверительного интервала для дисперсии в этом случае вводится статистика
имеющая
–
распределение с числом степеней свободы
независимо
от значения параметра
.
3) Задается требуемый
уровень значимости
.
4) Тогда, используя таблицу критических точек хи-квадрат распределения, нетрудно указать критические
точки
, для которых будет выполняться следующее
равенство:
Подставив вместо
соответствующее значение, получим:
Получаем доверительный интервал для неизвестной дисперсии:
Доверительный интервал для дисперсии нормальной случайной величины при известном математическом ожидании
Пусть
, причем
–
известна, а
–
неизвестна. Пусть для оценки
извлечена выборка объема
:
.
1) В качестве точечной оценки дисперсии
используется выборочная дисперсия:
2) При нахождении доверительного интервала для дисперсии в этом случае вводится статистика
имеющая
–
распределение с числом степеней свободы
независимо
от значения параметра
.
3) Задается требуемый
уровень значимости
.
4) Тогда, используя таблицу критических точек хи-квадрат распределения,
нетрудно указать критические точки
, для которых будет выполняться следующее
равенство:
Подставив вместо
соответствующее значение, получим:
Получаем доверительный интервал для неизвестной дисперсии:
Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения
Извлекая квадратный корень:
Положив:
Получим следующий доверительный интервал для среднего квадратического отклонения:
Для отыскания
по заданным
и
пользуются специальными таблицами.
Для проверки на нормальность заданного распределения случайной величины можно использовать правило трех сигм.
Задача
Имеется три независимых реализации нормальной случайной величины: 0.8, 3.2, 2.0.
Построить
доверительные интервалы для среднего и дисперсии с надежностью
Указание: воспользоваться таблицами Стьюдента и хи-квадрат.
Решение
Если по каким-либо причинам не справляетесь с решением задач, на портале можно заказать выполнение расчетной домашней работы, ИДЗ, РГР, контрольной и даже отдельных задач в разумные сроки. Чтобы вы смогли сделать заказ, я доступен по следующим каналам связи:
Контакты будут для вас
видны на территории
России и Беларуси
Общение без посредников. Удобная оплата переводом на банковскую карту. Опыт работы более 25 лет.
Подробное решение в формате электронного документа получите точно в срок или раньше.
Вычисление средней и дисперсии
Вычислим среднее и исправленную дисперсию :
Нахождение доверительных интервалов для средней и дисперсии
Найдем доверительный интервал для оценки неизвестного среднего. Он считается по формуле:
По таблице критических точек t-критерия Стьюдента, для уровня значимости
(односторонняя критическая область):
Искомый доверительный интервал для среднего:
Найдем доверительный интервал для оценки дисперсии. Он считается по формуле:
Для уровня значимости
и
получаем по таблице значений хи-квадрат:
Искомый доверительный интервал для дисперсии:
Ответ
Кроме этой задачи на другой странице сайта есть пример расчета доверительного интервала математического ожидания и среднего квадратического отклонения для интервального вариационного ряда