Доверительный интервал для математического ожидания нормальной случайной
величины при неизвестной дисперсии
Пусть
, причем
и
неизвестны. Необходимо построить доверительный интервал,
накрывающий с надежностью
истинное значение параметра
.
Для этого из генеральной
совокупности СВ
извлекается
выборка объема
:
.
1) В качестве точечной
оценки математического ожидания
используется
выборочное среднее
, а в
качестве оценки дисперсии
–
исправленная выборочная дисперсия

которой соответствует стандартное отклонение
.
2) Для нахождения
доверительного интервала строится статистика

имеющая в этом случае распределение Стьюдента с
числом степеней свободы
независимо
от значений параметров
и
.
3) Задается требуемый
уровень значимости
.
4) Применяется следующая
формула расчета вероятности:
где
–
критическая точка распределения Стьюдента, которая находится по таблице критических точек распределения Стьюдента (односторонняя критическая область).
Тогда:
Это означает, что
интервал:

накрывает неизвестный
параметр
с
надежностью

Доверительный интервал для математического ожидания
нормальной случайной величины при известной дисперсии
Пусть количественный
признак
генеральной
совокупности имеет нормальное распределение
с
заданной дисперсией
и
неизвестным математическим ожиданием
. Построим
доверительный интервал для
.
1) Пусть для оценки
извлечена
выборка
объема
. Тогда

2) Составим случайную
величину:

Нетрудно показать, что случайная величина
имеет стандартизированное нормальное распределение, то есть:

3) Зададим уровень
значимости
.
4) Применяя формулу нахождения
вероятности отклонения нормальной величины от математического ожидания, имеем:
Это означает, что
доверительный интервал

накрывает неизвестный
параметр
с надежностью
. Точность оценки определяется величиной:

Число
определяется
по таблице значений функции Лапласа из равенства

Окончательно получаем:

Доверительный интервал для
дисперсии нормальной случайной величины при неизвестном математическом ожидании
Пусть
, причем
и
–
неизвестны. Пусть для оценки
извлечена выборка объема
:
.
1) В качестве точечной оценки дисперсии
используется
исправленная выборочная дисперсия
:

которой соответствует стандартное отклонение
.
2) При нахождении
доверительного интервала для дисперсии в этом случае вводится статистика

имеющая
–
распределение с числом степеней свободы
независимо
от значения параметра
.
3) Задается требуемый
уровень значимости
.
4) Тогда, используя таблицу критических точек хи-квадрат распределения, нетрудно указать критические
точки
, для которых будет выполняться следующее
равенство:

Подставив вместо
соответствующее значение, получим:
Получаем доверительный
интервал для неизвестной дисперсии:

Доверительный интервал для
дисперсии нормальной случайной величины при известном математическом ожидании
Пусть
, причем
–
известна, а
–
неизвестна. Пусть для оценки
извлечена выборка объема
:
.
1) В качестве точечной оценки дисперсии
используется выборочная дисперсия:

2) При нахождении
доверительного интервала для дисперсии в этом случае вводится статистика

имеющая
–
распределение с числом степеней свободы
независимо
от значения параметра
.
3) Задается требуемый
уровень значимости
.
4) Тогда, используя таблицу критических точек хи-квадрат распределения,
нетрудно указать критические точки
, для которых будет выполняться следующее
равенство:

Подставив вместо
соответствующее значение, получим:


Получаем доверительный
интервал для неизвестной дисперсии:

Доверительный интервал для
среднего квадратического отклонения
Извлекая квадратный корень:

Положив:

Получим следующий
доверительный интервал для среднего квадратического
отклонения:

Для отыскания
по заданным
и
пользуются специальными таблицами.
Для проверки на нормальность заданного распределения случайной величины можно использовать
правило трех сигм.
Условие задачи
Имеется
три независимых реализации нормальной случайной величины: 0.8, 3.2, 2.0.
Построить
доверительные интервалы для среднего и дисперсии с надежностью

Указание:
воспользоваться таблицами Стьюдента и хи-квадрат.
Решение задачи
Вычисление средней и дисперсии
Вычислим среднее и
исправленную дисперсию
:
Нахождение доверительных интервалов для средней и дисперсии
Найдем доверительный интервал для оценки
неизвестного среднего. Он считается по формуле:

По таблице критических точек t-критерия Стьюдента, для уровня значимости
(односторонняя критическая область):


Искомый
доверительный интервал для среднего:


Найдем доверительный интервал для оценки дисперсии.
Он считается по формуле:

Для уровня значимости
и
получаем по таблице значений хи-квадрат:



Искомый доверительный интервал для дисперсии:

Ответ


Кроме этой задачи на другой странице сайта есть
пример расчета доверительного интервала математического ожидания и среднего квадратического отклонения для интервального вариационного ряда
К оглавлению решебника по теории вероятностей и математической статистике 〉