Задано эмпирическое распределение дискретной случайной величины
.
Требуется, используя критерий Пирсона, проверить гипотезу о распределении генеральной совокупности
по закону Пуассона.
Для того, чтобы
при уровне значимости
проверить гипотезу о том, что случайная
величина
распределена по закону Пуассона, необходимо:
1) Найти по заданному эмпирическому
распределению выборочную среднюю
.
2) Принять в качестве оценки параметра
распределения Пуассона выборочную среднюю
.
3) Найти
по формуле Пуассона
вероятности
появления ровно i событий в
испытаниях (
,
где
–максимальное число
наблюдавшихся событий,
– объем выборки).
4) Найти теоретические частоты по формуле
.
5) Сравнить эмпирические и теоретические
частоты с помощью критерия Пирсона, приняв число степеней свободы
,
где
– число различных групп выборки (если
производилось объединение малочисленных частот в одну группу, то
– число оставшихся групп выборки после
объединения частот).
Условие задачи
Имеются
данные по числу несчастных случаев, происходящих за один день:
0 - 280
дней, 1 - 75 дней, 2 - 12 дней, 3 - 1
день.
Проверить
согласуются ли полученные данные с пуассоновским распределением. Указание:
найти оценку для параметра
распределения Пуассона,
имеющего смысл среднего
числа несчастных случаев за один день, вычислить ожидаемые частоты и применить
критерий Пирсона.
Решение задачи
Вычисление теоретических частот распределения Пуассона
Общее
число несчастных случаев:

Вычислим
среднее число несчастных случаев в день:

Предполагаемый
закон Пуассона:

Оценка
для параметра распределения Пуассона:





Соответствующие
ожидаемые частоты:




Проверка гипотезы по критерию Пирсона
Проверим
степень согласия эмпирического и теоретического распределения по критерию Пирсона:
Значения
|
0
|
1
|
2
|
3
|
Итого
|
|
280
|
75
|
12
|
1
|
368
|
|
278.98
|
77.28
|
10.67
|
1.104
|
|
|
0.004
|
0.067
|
0.166
|
0.01
|
0.247
|
Из
расчетной таблицы

Уровень
значимости

Число
степеней свободы

По таблице критических точек распределения Пирсона:


Гипотеза
о распределении числа несчастных случаев по закону Пуассона не отвергается с
уровнем значимости
.
Ответ
Гипотеза
о распределении по закону Пуассона не отвергается.
К оглавлению решебника по теории вероятностей и математической статистике 〉