Проверка гипотезы о распределении генеральной совокупности по закону Пуассона

Краткая теория


Задано эмпирическое распределение дискретной случайной величины . Требуется, используя критерий Пирсона, проверить гипотезу о  распределении генеральной совокупности по закону Пуассона.

Для того, чтобы при уровне значимости  проверить гипотезу о том, что случайная величина  распределена по закону Пуассона, необходимо:

    Найти по заданному эмпирическому распределению выборочную среднюю . Принять в качестве оценки параметра  распределения Пуассона выборочную среднюю . Найти по формуле Пуассона вероятности  появления ровно i событий в  испытаниях ( , где  –максимальное число наблюдавшихся событий,  – объем выборки). Найти теоретические частоты по формуле . Сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона, приняв число степеней свободы , где  – число различных групп выборки (если производилось объединение малочисленных частот в одну группу, то  – число оставшихся групп выборки после объединения частот).

Примеры решения задач


Пример 1

Имеются данные по числу несчастных случаев, происходящих за один день:

0 - 280 дней, 1 - 75 дней, 2 - 12 дней,  3 - 1 день.

Проверить согласуются ли полученные данные с пуассоновским распределением. Указание: найти оценку для параметра распределения Пуассона, имеющего смысл среднего числа несчастных случаев за один день, вычислить ожидаемые частоты и применить критерий Пирсона.

Решение

Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь - свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

Вычисление теоретических частот распределения Пуассона

Общее число несчастных случаев:

Вычислим среднее число несчастных случаев в день:

Предполагаемый закон Пуассона:

Оценка для параметра распределения Пуассона:

Соответствующие ожидаемые частоты:

Проверка гипотезы по критерию Пирсона

Проверим степень согласия эмпирического и теоретического распределения по критерию Пирсона:

Значения 0 1 2 3 Итого
280 75 12 1  368
278.98 77.28 10.67 1.104  
0.004 0.067 0.166 0.01 0.247

Из расчетной таблицы

Уровень значимости

Число степеней свободы

По таблице критических точек распределения Пирсона:

Гипотеза о распределении числа несчастных случаев по закону Пуассона не отвергается с уровнем значимости .

Ответ: Гипотеза о распределении по закону Пуассона не отвергается.


Пример 2

Отдел технического контроля проверил  партий однотипных изделий и установил, что число  нестандартных изделий в одной партии имеет эмпирическое распределение, приведенное в таблице, в одной строке которой указано  нестандартных изделий в одной партии, а в другой строке – количество  партий, содержащих  нестандартных изделий. Требуется при уровне значимости  проверить гипотезу о том, что случайная величина  (число нестандартных изделий в одной партии) распределена по закону Пуассона.

0 1 2 3 4 5
380 380 170 58 10 2 1000

Решение

Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь - свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

Вычислим среднюю. Для этого составим расчетную таблицу.

0 1 2 3 4 5 Итого
380 380 170 58 10 2 1000
0 380 340 174 40 10 944

Предполагаемый закон Пуассона:

Теоретические частоты:

Проверим степень согласия эмпирического и теоретического распределения по критерию Пирсона. Объединяем малочисленные частоты .

 0 1 2 3 4,5 Итого
380 380 170 58 12  1000
389.068 367.281 173.356 54.549 15.304  
0.211 0.44 0.065 0.218 0.713 1.648

Из расчетной таблицы

Уровень значимости

Число степеней свободы

По таблице критических точек распределения:

Гипотеза о распределении случайной величины по закону Пуассона не отвергается.

Задачи контрольных и самостоятельных работ


Задача 1

В результате анализа технологического процесса получен вариационный ряд числа дефектных изделий.

Число дефектных изделий в партии 0 1 2 3 4
Число партий 159 105 47 23 6

Используя результаты анализа и предполагая, что распределение числа дефектных изделий в партии подчиняется закону Пуассона, определить теоретическое число партий с  дефектными изделиями.


Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь - свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

Задача 2

С помощью критерия Пирсона на уровне значимости  проверить гипотезу о законе распределения Пуассона на основании следующих данных:

130 75 35 10
137 80 27 6

Задача 3

Фирма с целью установления известности ее продукции опросила в каждом из 100 населенных пунктов по 20 человек. Распределение Х – числа пунктов, не знакомых с продукцией фирмы, таково:

  0 1 2 3 4 5
Число пунктов 65 20 10 3 1 1

Можно ли при 5%-ном уровне значимости считать, что число незнакомых с продукцией фирмы подчиняется закону Пуассона?


Задача 4

Имеются следующие данные о засоренности партии семян клевера семенами сорняков:

Число семян в одной пробе, 0 1 2 3 4 5 6
Число проб, 405 366 175 40 8 4 2 1000

На уровне значимости α = 0,05 проверить гипотезу о том, что случайная величина X— число семян сорняков - распределена по закону Пуассона, используя критерий  - Пирсона.


Задача 5

Случайная величина  -число пожаров, произошедших за одни сутки в городе. Данные за год приведены в таблице (  -число суток, в которые произошло  пожаров).

0 1 2 4 5 8
230 100 15 6 8 6

Проверить с помощью -критерия статистическую гипотезу о пуассоновском распределении величины  при уровне значимости .