Проверка гипотезы о распределении генеральной совокупности по закону Пуассона

Краткая теория
Примеры решения задач
Задачи контрольных и самостоятельных работ

Краткая теория

Задано эмпирическое распределение дискретной случайной величины . Требуется, используя критерий Пирсона, проверить гипотезу о распределении генеральной совокупности по закону Пуассона.

Для того, чтобы при уровне значимости проверить гипотезу о том, что случайная величина распределена по закону Пуассона, необходимо:

Найти по заданному эмпирическому распределению выборочную среднюю

Принять в качестве оценки параметра

распределения Пуассона выборочную среднюю

Найти по формуле Пуассона вероятности

появления ровно i событий в

испытаниях (

, где

–максимальное число наблюдавшихся событий,

– объем выборки).

Найти теоретические частоты по формуле

Сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона. Для этого:

а) составляют расчетную таблицу (см. пример), по которой находят наблюдаемое значение критерия

б) по таблице критических точек распределения , по заданному уровню значимости и числу степеней свободы ( – число групп выборки) находят критическую точку правосторонней критической области.

Если – нет оснований отвергнуть гипотезу о распределении генеральной совокупности по закону Пуассона. Если - гипотезу отвергают.

Замечание.

Малочисленные частоты следует объединить, в этом случае и соответствующие им теоретические частоты также надо сложить. Если производилось объединение частот, то при определении числа степеней свободы по формуле следует в качестве принять число групп выборки, оставшихся после объединения частот.

Примеры решения задач

Пример 1

Имеются данные по числу несчастных случаев, происходящих за один день:

0 - 280 дней, 1 - 75 дней, 2 - 12 дней, 3 - 1 день.

Проверить согласуются ли полученные данные с пуассоновским распределением. Указание: найти оценку для параметра распределения Пуассона, имеющего смысл среднего числа несчастных случаев за один день, вычислить ожидаемые частоты и применить критерий Пирсона.

Решение

На сайте можно заказать решение задач, контрольных, самостоятельных, домашних работ (возможно срочное решение), а также онлайн-помощь на экзамене или зачете. Для этого вам нужно только связаться со мной:

Телеграм @helptask
ВКонтакте (vk.com/task100)
WhatsApp +7 (968) 849-45-98

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту.

Подробное решение получите точно в срок или раньше.

Общее число несчастных случаев:

Вычислим среднее число несчастных случаев в день:

Предполагаемый закон Пуассона:

Оценка для параметра распределения Пуассона:

Соответствующие ожидаемые частоты:

Проверим степень согласия эмпирического и теоретического распределения по критерию Пирсона:

Значения	0	1	2	3	Итого
	280	75	12	1	368
	278.98	77.28	10.67	1.104
	0.004	0.067	0.166	0.01	0.247

Из расчетной таблицы

Уровень значимости

Число степеней свободы

По таблице критических точек распределения Пирсона:

Гипотеза о распределении числа несчастных случаев по закону Пуассона не отвергается с уровнем значимости .

Ответ: Гипотеза о распределении по закону Пуассона не отвергается.

Пример 2

Отдел технического контроля проверил партий однотипных изделий и установил, что число нестандартных изделий в одной партии имеет эмпирическое распределение, приведенное в таблице, в одной строке которой указано нестандартных изделий в одной партии, а в другой строке – количество партий, содержащих нестандартных изделий. Требуется при уровне значимости проверить гипотезу о том, что случайная величина (число нестандартных изделий в одной партии) распределена по закону Пуассона.

	0	1	2	3	4	5
	380	380	170	58	10	2	1000

Решение

Телеграм @helptask
ВКонтакте (vk.com/task100)
WhatsApp +7 (968) 849-45-98

Подробное решение получите точно в срок или раньше.

Вычислим среднюю. Для этого составим расчетную таблицу.

0	1	2	3	4	5	Итого
380	380	170	58	10	2	1000
0	380	340	174	40	10	944

Предполагаемый закон Пуассона:

Теоретические частоты:

Проверим степень согласия эмпирического и теоретического распределения по критерию Пирсона. Объединяем малочисленные частоты .

0	1	2	3	4,5	Итого
380	380	170	58	12	1000
389.068	367.281	173.356	54.549	15.304
0.211	0.44	0.065	0.218	0.713	1.648

Из расчетной таблицы

Уровень значимости

Число степеней свободы

По таблице критических точек распределения:

Гипотеза о распределении случайной величины по закону Пуассона не отвергается.

Задачи контрольных и самостоятельных работ

Задача 1

В результате анализа технологического процесса получен вариационный ряд числа дефектных изделий.

Число дефектных изделий в партии	0	1	2	3	4
Число партий	159	105	47	23	6

Используя результаты анализа и предполагая, что распределение числа дефектных изделий в партии подчиняется закону Пуассона, определить теоретическое число партий с дефектными изделиями.

Телеграм @helptask
ВКонтакте (vk.com/task100)
WhatsApp +7 (968) 849-45-98

Подробное решение получите точно в срок или раньше.

Задача 2

С помощью критерия Пирсона на уровне значимости проверить гипотезу о законе распределения Пуассона на основании следующих данных:

	130	75	35	10
	137	80	27	6

Задача 3

Фирма с целью установления известности ее продукции опросила в каждом из 100 населенных пунктов по 20 человек. Распределение Х – числа пунктов, не знакомых с продукцией фирмы, таково:

	0	1	2	3	4	5
Число пунктов	65	20	10	3	1	1

Можно ли при 5%-ном уровне значимости считать, что число незнакомых с продукцией фирмы подчиняется закону Пуассона?

Задача 4

Имеются следующие данные о засоренности партии семян клевера семенами сорняков:

Число семян в одной пробе,	0	1	2	3	4	5	6	∑
Число проб,	405	366	175	40	8	4	2	1000

На уровне значимости α = 0,05 проверить гипотезу о том, что случайная величина X— число семян сорняков - распределена по закону Пуассона, используя критерий - Пирсона.

Задача 5

Случайная величина -число пожаров, произошедших за одни сутки в городе. Данные за год приведены в таблице ( -число суток, в которые произошло пожаров).

	0	1	2	4	5	8
	230	100	15	6	8	6

Проверить с помощью -критерия статистическую гипотезу о пуассоновском распределении величины при уровне значимости .

Краткая теория
Примеры решения задач
Задачи контрольных и самостоятельных работ