Интегральная теорема Муавра - Лапласа

Краткая теория


Предположим, что производится  испытаний, в каждом из которых вероятность появления события  постоянна и равна . Требуется вычислить вероятность  того, что событие  появится в  испытаниях не менее  и не более  раз.  Это можно сделать при помощи интегральной теоремы Муавра - Лапласа:

Интегральная теорема Муавра - Лапласа

Если вероятность  наступления события  в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность  того, что событие  появится в  испытаниях от  до  раз, приближенно равна определенному интегралу:

где

При решении задач, требующих применения интегральной теоремы Лапласа, пользуются специальными таблицами, так как неопределенный интеграл

не выражается через элементарные функции. Таблицы для интеграла

можно найти на сайте по ссылке Функция Лапласа - таблица значений. В таблице даны значения функции  для положительных значений  и для ;  для  пользуются той же таблицей (функция  нечетна, то есть ).

В таблице приведены значения интеграла лишь до  так как при  можно принять . Функцию  называют функцией Лапласа.

Для того, чтобы можно было пользоваться таблицей функции Лапласа, преобразуем формулу:

Интегральная формула Муавра - Лапласа

Таким образом, вероятность того, что событие  появится в  независимых испытаниях от  до  раз:

где

На основе интегральной теоремы Лапласа можно вывести формулу вероятности отклонения относительной частоты от постоянной вероятности, которая используется для решения достаточно большого круга задач.

Условие применимости интегральной формулы Муавра-Лапласа

Чем больше , тем точнее интегральная формула Муавра-Лапласа. Приближенные значения вероятности, даваемые интегральной формулой, на практике используются как точные при  порядка двух и более десятков, то есть при условии .

Смежные темы решебника:

Примеры решения задач


Пример 1

При автоматической прессовке карболитовых болванок 2/3 общего числа из них не имеют зазубрин. Найдите вероятность того, что из 450 взятых наудачу болванок количество болванок без зазубрин заключено между 280 и 320.

Решение

Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь - свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

Если количество независимых испытаний достаточно большое, то для упрощения вычислений применяют интегральную и локальную теоремы Лапласа, которые дают близкий к формуле Бернулли результат при большом количестве испытаний.

 

Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа.

 

Вероятность того, что событие  появится в  независимых испытаниях от  до  раз:

 

В нашем случае  

Искомая вероятность:

Ответ: p=0.9544


Пример 2

В жилом доме имеется 600 ламп, вероятность включения каждой из них в вечернее время равна 0,5. Найти вероятность того, что число одновременно включенных ламп будет заключено между 280 и 320.

Решение

Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа.

Вероятность того, что событие  появится в  независимых испытаниях от  до  раз:

где:

В нашем случае  

По таблице функции Лапласа:

Искомая вероятность:

Ответ:


Пример 3

Производятся испытания по схеме Бернулли с вероятностью успеха в одном испытании .

Найти вероятность того, что в  испытаниях число успехов будет не меньше  и не больше .

Решение

Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь - свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа.

 

Вероятность того, что событие  появится в  независимых испытаниях от  до  раз:

По таблице функции Лапласа:

Искомая вероятность:

Ответ:

Задачи контрольных и самостоятельных работ


Задача 1

Игральная кость бросается 12000 раз. Найти вероятность того, что число выпадений одного очка будет от 1900 до 2150 раз?


Задача 2

Вероятность рождения мальчика примем равной 0,5. Найти вероятность того, что среди 200 новорожденных детей будет от 90 до 110 мальчиков.


Задача 3

100 пациентов принимают экспериментальный препарат, причем улучшение состояния в течение для отмечают 80%. Найдите вероятность того, что в течение дня улучшение почувствуют от 75 до 85 пациентов.


Задача 4

Вероятность выхода из строя за время   одного конденсатора равна 0,2. Найдите вероятность того, что за время  из 100 независимо работающих конденсаторов выйдут из строя от 14 до 26 конденсаторов.


Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь - свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

Задача 5

Вероятность реализации одной акции некоторой компании равна 0,8. Брокерская контора предлагает 100 акций этой компании. Какова вероятность того, что будет продано не менее 85 акций?


Задача 6

Вероятность, что безработный найдет работу, обратившись в службу занятости, равна 0,3. Чему равна вероятность того, что из 320, обратившихся за месяц, работу получат от 100 до 200?


Задача 7

Всхожесть семян данного растения составляет 90%. Найти вероятность того, что из 800 посеянных семян взойдет не менее 700.


Задача 8

Всхожесть семян кукурузы 95%. На опытном участке посеяно 200 семян. Какова вероятность, что взойдет не менее  185? Сколько надо посадить чтобы взошло не менее 200 с вероятностью 97%?


Задача 9

Монету подбрасывают 100 раз. Найти вероятность того, что число выпавших гербов окажется меньше 42.


Задача 10

Было посажено 500 деревьев. Найти вероятность того, что число прижившихся деревьев больше 390, если вероятность того, что отдельное дерево приживется, равна 0,8. Сколько деревьев надо посадить, чтобы 400 прижилось с вероятностью 95%?


Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь - свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

Задача 11

Найти вероятность того, что среди 10000 случайных цифр цифра 7 появится не более 968 раз.


Задача 12

На базе хранится 760 ед. продукции. Вероятность того, что она не испортится, равна 0.65. Найти вероятность того, что количество испорченных изделий будет меньше 282.


Задача 13

Производится некоторый опыт, в котором случайное событие A может появиться с вероятностью 0,6. Опыт повторяют в неизменных условиях 1000 раз.

Определить вероятность того, что в 1000 опытах событие  произойдет не менее чем 580 раз.


Задача 14

Найти вероятность того, что в партии из 100 изделий число изделий высшего сорта заключено между 80 и 90, если вероятность того, что изделие высшего сорта, равна 0,8.

 


Задача 15

Вероятность того, что изделие предприятия имеет брак, равна p=0,02. Найти вероятность, что из 1000 изделий бракованных будет от 20 до 40 включительно.


Задача 16

Стоматологическая клиника распространяет рекламные листки у входа в метро. Опыт показывает, что в одном случае из тысячи следует обращение в клинику. Найти вероятность того, что при распространении 50 тыс. листков число обращений будет находиться в границах от 35 до 45.


Задача 17

Вероятность того, что деталь не проверялась в ОТК, равна 0,2. Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных деталей окажется от 70 до 100 деталей, не проверенных в ОТК.


Задача 18

Применение вакцины от гриппа обещает защиту от болезни с вероятностью 0,9. Какова вероятность, что из 200 студентов института не заболеют гриппом от 170 до 190 человек?

 


Задача 19

На сборы приглашено 120 спортсменов. Вероятность для каждого спортсмена выполнить норматив 0,7. Определить вероятность того, что выполнят норматив не менее 80 спортсменов.

 


Задача 20

Каждый из 100 компьютеров в интернет-кафе занят клиентами в среднем в течение 80% рабочего времени. Какова вероятность, что в некоторый момент клиентами будет занято от 70 до 90 компьютеров.


Задача 21

Посетитель магазина совершает покупку с вероятностью 0,8. Какова вероятность, что из 400 посетителей сделают покупки от 300 до 350 человек?