Платная помощь студентам - решение задач и контрольных работ

Помощь в решении ваших задач и контрольных вы можете найти, отправив сообщение ВКонтакте, WhatsApp, Viber или электроннной почтой.
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение с автором студенческих работ без посредников. Опыт работы более 20 лет.
Высшая математика и физика, теория вероятностей, линейное программирование, статистика, эконометрика, финансовая математика, методы и модели, оптимальные решения.
На цену сильно влияет срочность решения. Онлайн-помощь на экзамене/зачете (срок решения 1,5 часа и меньше) осуществляется по предварительной записи.

Интегральная теорема Муавра - Лапласа

Краткая теория

Предположим, что производится  испытаний, в каждом из которых вероятность появления события  постоянна и равна . Требуется вычислить вероятность  того, что событие  появится в  испытаниях не менее  и не более  раз.  Это можно сделать при помощи интегральной теоремы Муавра - Лапласа:

Если вероятность  наступления события  в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность  того, что событие  появится в  испытаниях от  до  раз, приближенно равна определенному интегралу:

где

При решении задач, требующих применения интегральной теоремы Лапласа, пользуются специальными таблицами, так как неопределенный интеграл

не выражается через элементарные функции. Таблицы для интеграла

можно найти на сайте по ссылке Функция Лапласа - таблица значений. В таблице даны значения функции  для положительных значений  и для ;  для  пользуются той же таблицей (функция  нечетна, то есть ).

В таблице приведены значения интеграла лишь до  так как при  можно принять . Функцию  называют функцией Лапласа.

Для того, чтобы можно было пользоваться таблицей функции Лапласа, преобразуем формулу:

Таким образом, вероятность того, что событие  появится в  независимых испытаниях от  до  раз:

где

На основе интегральной теоремы Лапласа можно вывести формулу вероятности отклонения относительной частоты от постоянной вероятности, которая используется для решения достаточно большого круга задач.

Пример решения задачи

Условие задачи

При автоматической прессовке карболитовых болванок 2/3 общего числа из них не имеют зазубрин. Найдите вероятность того, что из 450 взятых наудачу болванок количество болванок без зазубрин заключено между 280 и 320.

Задали объемную контрольную? Скоро важный зачет/экзамен? Нет времени на выполнение работы или подготовку к зачету/экзамену, но есть деньги? На сайте 100task.ru можно заказать решение задач, контрольных или онлайн-помощь на зачете/экзамене ⟩⟩

Если вам сейчас не требуется помощь, но может потребоваться в дальнейшем, то, чтобы не потерять контакт, вступайте в группу ВК.

Решение задачи

Если количество независимых испытаний достаточно большое, то для упрощения вычислений применяют интегральную и локальную теоремы Лапласа, которые дают близкий к формуле Бернулли результат при большом количестве испытаний.

 

Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:

 

Вероятность того, что событие  появится в  независимых испытаниях от  до  раз:

 

В нашем случае  

Искомая вероятность:

Ответ

p=0.9544

К оглавлению решебника по теории вероятностей и математической статистике