Локальная теорема Муавра - Лапласа

Краткая теория


Схема повторных независимых испытаний Бернулли позволяет вычислить вероятность того, что событие появится в  испытаниях ровно  раз. При ее выводе предполагается, что вероятность появления события в каждом испытании постоянна. Легко видеть, что пользоваться формулой Бернулли при больших значениях достаточно трудно, так как формула требует выполнения действий над громадными числами. Например, если .  Правда, можно несколько упростить вычисления, пользуясь специальными таблицами логарифмов факториалов. Однако и этот путь остается громоздким и к тому же имеет существенный недостаток: таблицы содержат приближенные значения логарифмов, поэтому в процессе вычислений накапливаются погрешности; в итоге окончательный результат может значительно отличаться от истинного.

Естественно возникает вопрос: нельзя ли вычислить интересующую нас вероятность, не прибегая к формуле Бернулли? Оказывается, можно. Локальная теорема Муавра - Лапласа и дает асимптотическую формулу, которая позволяет приближенно найти вероятность появления события ровно  раз в  испытаниях, если число испытаний достаточно велико.

Локальная теорема Муавра - Лапласа

Если вероятность  появления события  в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность  того, что событие  появится в  испытаниях ровно  раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше ) значению функции

при

Таким образом, вероятность того, что событие  появится в  независимых испытаниях ровно  раз, приближенно равна:

где

Условие применимости локальной формулы Муавра-Лапласа

Чем больше , тем точнее локальная формула Муавра-Лапласа. Приближенные значения вероятности, даваемые локальной формулой, на практике используются как точные при  порядка двух и более десятков, то есть при условии .

Смежные темы решебника:

Примеры решения задач


Пример 1

Производство электронно-лучевых трубок для телевизоров дает в среднем 12% брака. Найдите вероятность наличия 215 годных трубок в партии из 250 штук.

Решение

Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь - свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

 

Воспользуемся локальной теоремой Муавра - Лапласа:

 

В нашем случае:

Ответ: p=0.0483


Пример 2

Вероятность поражения мишени равна 0,85. Производится 5625 выстрелов. Найти число попаданий, которое следует ожидать с вероятностью 0,004.

Решение

Воспользуемся локальной теоремой Лапласа:

В нашем случае:

 

Ответ:


Пример 3

Вероятность рождения мальчика равна 0,515. Найдите вероятность того, что среди 100 новорожденных окажется 50 мальчиков.

Решение

Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь - свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

Воспользуемся локальной теоремой Лапласа:

В нашем случае:

Ответ: .

Задачи контрольных и самостоятельных работ


Задача 1

По результатам проверок налоговыми инспекциями установлено, что в среднем каждое второе малое предприятие региона имеет нарушение финансовой дисциплины. Найти вероятность того, что из 1000 зарегистрированных предприятий имеют нарушения ровно 480 предприятий.


Задача 2

Контрольную работу по математике успешно выполняют 70 % студентов. Найти вероятность того, что из 400 студентов работу выполнят 300.


Задача 3

Принимая одинаково вероятным рождение мальчика и девочки, найти вероятность того, что из 4500 новорожденных будет 2300 мальчиков.


Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь - свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

Задача 4

Вероятность того, что изделие предприятия имеет брак, равна 0,02. Найти вероятность, что из 1000 изделий бракованных будет ровно 15


Задача 5

Стоматологическая клиника распространяет рекламные листки у входа в метро. Опыт показывает, что в одном случае из тысячи следует обращение в клинику. Найти вероятность того, что при распространении 50 тыс. листков число обращений будет равно 40.


Задача 6

Игральную кость бросают 500 раз. Найти вероятность события, состоящего в том, что число выпадений шестерки будет ровно 80 раз.


Задача 7

В среднем 20% от всех банков имеют активы на сумму более, чем 100 млн.руб.

Найти вероятность того, что из 1800 исследуемых банков активы больше, чем 100 млн.руб. будут иметь 300 банков.


Задача 8

Вероятность того, что станок - автомат в течение смены потребует внимания рабочего, равна 0,2. Предполагается, что неполадки на станках независимые. Найти вероятность того, что в течение смены внимания рабочего потребуют ровно 15 станков.


Задача 9

Вероятность того, что желание, загаданное на Новый год, сбудется, равна 0,7. Найти вероятность того, что из 100 загаданных желаний сбудется ровно 75 желаний.


Задача 10

Найти вероятность того, что событие  наступит ровно 70 раз в 243 испытаниях, если вероятность наступления события  в каждом испытании равна 0,25.