Локальная теорема Муавра - Лапласа

Краткая теория

Схема повторных независимых испытаний Бернулли позволяет вычислить вероятность того, что событие появится в  испытаниях ровно  раз. При ее выводе предполагается, что вероятность появления события в каждом испытании постоянна. Легко видеть, что пользоваться формулой Бернулли при больших значениях достаточно трудно, так как формула требует выполнения действий над громадными числами. Например, если .  Правда, можно несколько упростить вычисления, пользуясь специальными таблицами логарифмов факториалов. Однако и этот путь остается громоздким и к тому же имеет существенный недостаток: таблицы содержат приближенные значения логарифмов, поэтому в процессе вычислений накапливаются погрешности; в итоге окончательный результат может значительно отличаться от истинного.

Естественно возникает вопрос: нельзя ли вычислить интересующую нас вероятность, не прибегая к формуле Бернулли? Оказывается, можно. Локальная теорема Муавра - Лапласа и дает асимптотическую формулу, которая позволяет приближенно найти вероятность появления события ровно  раз в  испытаниях, если число испытаний достаточно велико.

Локальная теорема Муавра - Лапласа. Если вероятность  появления события  в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность  того, что событие  появится в  испытаниях ровно  раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше ) значению функции

при

Таким образом, вероятность того, что событие  появится в  независимых испытаниях ровно  раз, приближенно равна:

где

Пример решения задачи

Задача

Производство электронно-лучевых трубок для телевизоров дает в среднем 12% брака. Найдите вероятность наличия 215 годных трубок в партии из 250 штук.

Решение

Если вам сейчас не требуется платная помощь с решением задач, контрольных работ и типовых расчетов, но может потребоваться в дальнейшем, то, чтобы не потерять контакт
вступайте в группу ВК
сохраните контакт WhatsApp (+79688494598)
сохраните контакт Телеграм (@helptask) .

Если количество независимых испытаний достаточно большое, то для упрощения вычислений применяют локальную и интегральную теоремы Лапласа, которые дают близкий к формуле Бернулли результат при большом количестве испытаний.

 

Воспользуемся локальной теоремой Муавра - Лапласа:

 

В нашем случае:

Ответ: p=0.0483