Следствия интегральной теоремы Муавра-Лапласа.
Отклонение относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях

Краткая теория


Пусть выполнены условия применимости интегральной теоремы Муавра-Лапласа.

Следствие 1

Если вероятность  наступления события  в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то при достаточно большом числе  независимых испытаний вероятность того, что число  наступлений события  отличается от произведения  не более чем на величину  (по абсолютной величине) равна:

Следствие 2

Если вероятность  наступления события  в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то при достаточно большом числе  независимых испытаний вероятность того, что относительная частота  события  заключена в пределах от  до  (включительно), равна:

где

Следствие 3

Если вероятность  наступления события  в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то при достаточно большом числе  независимых испытаний вероятность того, что относительная частота  события  отличается от его вероятности  не более, чем на величину  (по абсолютной величине), равна

Смежные темы решебника:

Примеры решения задач


Пример 1

Магазин получил партию бутылок шампанского. Вероятность того, что при транспортировке бутылка окажется разбитой, равна 0,08. Сколько следует проверить бутылок, чтобы с вероятностью 0,9973 можно было утверждать, что относительная частота появления разбитой бутылки отклонится от вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,01.

Решение

Если по каким-либо причинам не справляетесь с решением задач, на портале можно заказать выполнение расчетной домашней работы, ИДЗ, РГР, контрольной и даже отдельных задач в разумные сроки. Чтобы вы смогли сделать заказ, я доступен по следующим каналам связи:

Контакты будут для вас
видны на территории
России и Беларуси

Общение без посредников. Удобная оплата переводом на банковскую карту. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в формате электронного документа получите точно в срок или раньше.

Воспользуемся формулой:

Получаем:

По таблице функции Лапласа:

Ответ:


Пример 2

Отдел технического контроля проверяет на брак 900 процессоров. Вероятность того, что процессор работает, равна 0,9. Найти с вероятностью 0,95 границы, между которыми помещается число неисправных процессоров среди исправных.

Решение

По условию

Воспользуемся формулой:

В нашем случае:

По таблице функции Лапласа:

Таким образом, с вероятностью 0,95 отклонение относительной частоты числа стандартных деталей от вероятности 0,9 удовлетворяет неравенству:

Отсюда искомое число  стандартных деталей среди 900 проверенных с вероятностью 0,95 заключено в следующих границах:

Ответ: 


Пример 3

Всхожесть семян составляет 80%. Найти вероятность того, что из 2500 семян, количество взошедших не выйдет за границы интервала [1950;2050].

Решение

Если по каким-либо причинам не справляетесь с решением задач, на портале можно заказать выполнение расчетной домашней работы, ИДЗ, РГР, контрольной и даже отдельных задач в разумные сроки. Чтобы вы смогли сделать заказ, я доступен по следующим каналам связи:

Контакты будут для вас
видны на территории
России и Беларуси

Общение без посредников. Удобная оплата переводом на банковскую карту. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в формате электронного документа получите точно в срок или раньше.

Воспользуемся формулой:

Тогда:

То есть

Подставляя в формулу, получаем:

Ответ: 


Пример 4

По статистическим данным в среднем 87% новорожденных доживают до 50 лет Найти вероятность того, что из 1000 новорожденных доля доживших до 50 лет будет заключена в пределах от 0,9 до 0,95.

Решение

Воспользуемся формулой:

где

 

Искомая вероятность:

Ответ:

Задачи контрольных и самостоятельных работ


Задача 1

Испытание состоит в подбрасывании трех кубиков. Сколько раз нужно провести испытание, чтобы с вероятностью не менее 0,95 хотя бы один раз появились три «единицы».


Задача 2

Производятся испытания по схеме Бернулли с вероятностью успеха в одном испытании p=0,7. Найти вероятность того, что в n=4000 испытаниях относительная частота успеха будет отличаться от его вероятности не больше чем на ε=0,05.


Задача 3

На базе хранится 760 ед. продукции. Вероятность того, что она не испортится, равна 0.65. Найти вероятность того, что относительная частота события, состоящего в том, что продукция не испортится отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более, чем на 0,01.


Задача 4

Вероятность появления события в каждом из 100 независимых испытаний равна 0,8. Сколько нужно повести испытаний, чтобы с вероятностью 0,95 можно было ожидать отклонения относительной частоты появления события от его вероятности не больше, чем на 0,004.


Если по каким-либо причинам не справляетесь с решением задач, на портале можно заказать выполнение расчетной домашней работы, ИДЗ, РГР, контрольной и даже отдельных задач в разумные сроки. Чтобы вы смогли сделать заказ, я доступен по следующим каналам связи:

Контакты будут для вас
видны на территории
России и Беларуси

Общение без посредников. Удобная оплата переводом на банковскую карту. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в формате электронного документа получите точно в срок или раньше.

Задача 5

В урне содержаться белые и черные шары в отношении 4:1. После извлечения шара регистрируется его цвет и шар возвращается в урну. Чему равно наименьшее число извлечений , при котором с вероятностью 0,95 можно ожидать, что абсолютная величина отклонения относительной частоты появления белого шара от его вероятности будет не более чем 0,01?


Задача 6

Вероятность появления события- в каждом из 900 независимых испытаний равна 0,5. Найти такое положительное число , чтобы с вероятностью 0,77 абсолютная величина отклонения относительной частоты появления события от его вероятности 0,5 не превысила .


Задача 7

Отдел технического «контроля проверяет на стандартность 900 деталей. Вероятность того, что деталь стандартна, равна 0,9. Найти с вероятностью 0,95 границы, в которых будет заключено число m стандартных деталей среди проверенных.


Задача 8

Игральную кость бросают 80 раз. Найти с вероятностью 0,99 границы, в которых будет заключено число m выпадений шестерки.


Задача 9

Производится 500 подбрасываний симметричной монеты. В каких пределах будет находиться отклонение частоты выпадения герба от 0,5 с вероятностью 0,99?


Задача 10

Страховая фирма заключила 10000 договоров. Вероятность страхового случая по каждому в течение года составляет 1%. В каких границах с вероятностью 0,95 лежит количество страховых случаев?


Задача 11

Стиральным порошком «Снежок» пользуется 25% населения. Сколько людей надо опросить, чтобы определить эту долю с точностью 0,05 с вероятностью 0,95?