Следствия интегральной теоремы Муавра-Лапласа.
Отклонение относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях

Краткая теория


Пусть выполнены условия применимости интегральной теоремы Муавра-Лапласа.

Следствие 1

Если вероятность  наступления события  в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то при достаточно большом числе  независимых испытаний вероятность того, что число  наступлений события  отличается от произведения  не более чем на величину  (по абсолютной величине) равна:

Следствие 2

Если вероятность  наступления события  в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то при достаточно большом числе  независимых испытаний вероятность того, что относительная частота  события  заключена в пределах от  до  (включительно), равна:

где

Следствие 3

Если вероятность  наступления события  в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то при достаточно большом числе  независимых испытаний вероятность того, что относительная частота  события  отличается от его вероятности  не более, чем на величину  (по абсолютной величине), равна

Смежные темы решебника:

Примеры решения задач


Пример 1

Магазин получил партию бутылок шампанского. Вероятность того, что при транспортировке бутылка окажется разбитой, равна 0,08. Сколько следует проверить бутылок, чтобы с вероятностью 0,9973 можно было утверждать, что относительная частота появления разбитой бутылки отклонится от вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,01.

Решение

Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь - свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

Воспользуемся формулой:

Получаем:

По таблице функции Лапласа:

Ответ:


Пример 2

Отдел технического контроля проверяет на брак 900 процессоров. Вероятность того, что процессор работает, равна 0,9. Найти с вероятностью 0,95 границы, между которыми помещается число неисправных процессоров среди исправных.

Решение

По условию

Воспользуемся формулой:

В нашем случае:

По таблице функции Лапласа:

Таким образом, с вероятностью 0,95 отклонение относительной частоты числа стандартных деталей от вероятности 0,9 удовлетворяет неравенству:

Отсюда искомое число  стандартных деталей среди 900 проверенных с вероятностью 0,95 заключено в следующих границах:

Ответ: 


Пример 3

Всхожесть семян составляет 80%. Найти вероятность того, что из 2500 семян, количество взошедших не выйдет за границы интервала [1950;2050].

Решение

Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь - свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

Воспользуемся формулой:

Тогда:

То есть

Подставляя в формулу, получаем:

Ответ: 


Пример 4

По статистическим данным в среднем 87% новорожденных доживают до 50 лет Найти вероятность того, что из 1000 новорожденных доля доживших до 50 лет будет заключена в пределах от 0,9 до 0,95.

Решение

Воспользуемся формулой:

где

 

Искомая вероятность:

Ответ:

Задачи контрольных и самостоятельных работ


Задача 1

Испытание состоит в подбрасывании трех кубиков. Сколько раз нужно провести испытание, чтобы с вероятностью не менее 0,95 хотя бы один раз появились три «единицы».


Задача 2

Производятся испытания по схеме Бернулли с вероятностью успеха в одном испытании p=0,7. Найти вероятность того, что в n=4000 испытаниях относительная частота успеха будет отличаться от его вероятности не больше чем на ε=0,05.


Задача 3

На базе хранится 760 ед. продукции. Вероятность того, что она не испортится, равна 0.65. Найти вероятность того, что относительная частота события, состоящего в том, что продукция не испортится отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более, чем на 0,01.


Задача 4

Вероятность появления события в каждом из 100 независимых испытаний равна 0,8. Сколько нужно повести испытаний, чтобы с вероятностью 0,95 можно было ожидать отклонения относительной частоты появления события от его вероятности не больше, чем на 0,004.


Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь - свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

Задача 5

В урне содержаться белые и черные шары в отношении 4:1. После извлечения шара регистрируется его цвет и шар возвращается в урну. Чему равно наименьшее число извлечений , при котором с вероятностью 0,95 можно ожидать, что абсолютная величина отклонения относительной частоты появления белого шара от его вероятности будет не более чем 0,01?


Задача 6

Вероятность появления события- в каждом из 900 независимых испытаний равна 0,5. Найти такое положительное число , чтобы с вероятностью 0,77 абсолютная величина отклонения относительной частоты появления события от его вероятности 0,5 не превысила .


Задача 7

Отдел технического «контроля проверяет на стандартность 900 деталей. Вероятность того, что деталь стандартна, равна 0,9. Найти с вероятностью 0,95 границы, в которых будет заключено число m стандартных деталей среди проверенных.


Задача 8

Игральную кость бросают 80 раз. Найти с вероятностью 0,99 границы, в которых будет заключено число m выпадений шестерки.


Задача 9

Производится 500 подбрасываний симметричной монеты. В каких пределах будет находиться отклонение частоты выпадения герба от 0,5 с вероятностью 0,99?


Задача 10

Страховая фирма заключила 10000 договоров. Вероятность страхового случая по каждому в течение года составляет 1%. В каких границах с вероятностью 0,95 лежит количество страховых случаев?


Задача 11

Стиральным порошком «Снежок» пользуется 25% населения. Сколько людей надо опросить, чтобы определить эту долю с точностью 0,05 с вероятностью 0,95?