Следствия интегральной теоремы Муавра-Лапласа.
Отклонение относительной частоты от постоянной вероятности в независимых
испытаниях
Краткая теория
Пусть выполнены условия применимости интегральной теоремы Муавра-Лапласа.
Следствие 1
Если
вероятность
наступления события
в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и
1, то при достаточно большом числе
независимых испытаний вероятность того, что
число
наступлений события
отличается от произведения
не более чем на величину
(по абсолютной величине) равна:
Следствие 2
Если
вероятность
наступления события
в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и
1, то при достаточно большом числе
независимых испытаний вероятность того, что
относительная частота
события
заключена в пределах от
до
(включительно), равна:
где
Следствие 3
Если
вероятность
наступления события
в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и
1, то при достаточно большом числе
независимых испытаний вероятность того, что
относительная частота
события
отличается от его вероятности
не более, чем на величину
(по абсолютной величине), равна
Смежные темы решебника:
Примеры решения задач
Пример 1
Магазин получил партию бутылок шампанского. Вероятность того, что при транспортировке бутылка окажется разбитой, равна 0,08. Сколько следует проверить бутылок, чтобы с вероятностью 0,9973 можно было утверждать, что относительная частота появления разбитой бутылки отклонится от вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,01.
Решение
Если по каким-либо причинам не справляетесь с решением задач, на портале можно заказать выполнение расчетной домашней работы, ИДЗ, РГР, контрольной и даже отдельных задач в разумные сроки. Чтобы вы смогли сделать заказ, я доступен по следующим каналам связи:
Контакты будут для вас
видны на территории
России и Беларуси
Общение без посредников. Удобная оплата переводом на банковскую карту. Опыт работы более 25 лет.
Подробное решение в формате электронного документа получите точно в срок или раньше.
Воспользуемся формулой:
Получаем:
По таблице функции Лапласа:
Ответ:
Пример 2
Отдел технического контроля проверяет на брак 900 процессоров. Вероятность того, что процессор работает, равна 0,9. Найти с вероятностью 0,95 границы, между которыми помещается число неисправных процессоров среди исправных.
Решение
По
условию
Воспользуемся формулой:
В нашем случае:
По таблице функции Лапласа:
Таким образом, с вероятностью 0,95 отклонение относительной частоты числа стандартных деталей от вероятности 0,9 удовлетворяет неравенству:
Отсюда
искомое число
стандартных деталей среди 900 проверенных с
вероятностью 0,95 заключено в следующих границах:
Ответ:
Пример 3
Всхожесть семян составляет 80%. Найти вероятность того, что из 2500 семян, количество взошедших не выйдет за границы интервала [1950;2050].
Решение
Если по каким-либо причинам не справляетесь с решением задач, на портале можно заказать выполнение расчетной домашней работы, ИДЗ, РГР, контрольной и даже отдельных задач в разумные сроки. Чтобы вы смогли сделать заказ, я доступен по следующим каналам связи:
Контакты будут для вас
видны на территории
России и Беларуси
Общение без посредников. Удобная оплата переводом на банковскую карту. Опыт работы более 25 лет.
Подробное решение в формате электронного документа получите точно в срок или раньше.
Воспользуемся формулой:
Тогда:
То есть
Подставляя в формулу, получаем:
Ответ:
Пример 4
По статистическим данным в среднем 87% новорожденных доживают до 50 лет Найти вероятность того, что из 1000 новорожденных доля доживших до 50 лет будет заключена в пределах от 0,9 до 0,95.
Решение
Воспользуемся формулой:
где
Искомая вероятность:
Ответ:
Задачи контрольных и самостоятельных работ
Задача 1
Испытание состоит в подбрасывании трех кубиков. Сколько раз нужно провести испытание, чтобы с вероятностью не менее 0,95 хотя бы один раз появились три «единицы».
Задача 2
Производятся испытания по схеме Бернулли с вероятностью успеха в одном испытании p=0,7. Найти вероятность того, что в n=4000 испытаниях относительная частота успеха будет отличаться от его вероятности не больше чем на ε=0,05.
Задача 3
На базе хранится 760 ед. продукции. Вероятность того, что она не испортится, равна 0.65. Найти вероятность того, что относительная частота события, состоящего в том, что продукция не испортится отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более, чем на 0,01.
Задача 4
Вероятность появления события в каждом из 100 независимых испытаний равна 0,8. Сколько нужно повести испытаний, чтобы с вероятностью 0,95 можно было ожидать отклонения относительной частоты появления события от его вероятности не больше, чем на 0,004.
Если по каким-либо причинам не справляетесь с решением задач, на портале можно заказать выполнение расчетной домашней работы, ИДЗ, РГР, контрольной и даже отдельных задач в разумные сроки. Чтобы вы смогли сделать заказ, я доступен по следующим каналам связи:
Контакты будут для вас
видны на территории
России и Беларуси
Общение без посредников. Удобная оплата переводом на банковскую карту. Опыт работы более 25 лет.
Подробное решение в формате электронного документа получите точно в срок или раньше.
Задача 5
В урне
содержаться белые и черные шары в отношении 4:1. После извлечения шара
регистрируется его цвет и шар возвращается в урну. Чему равно наименьшее число
извлечений
, при котором с
вероятностью 0,95 можно ожидать, что абсолютная величина отклонения относительной
частоты появления белого шара от его вероятности будет не более чем 0,01?
Задача 6
Вероятность
появления события- в каждом из 900 независимых испытаний равна 0,5. Найти такое
положительное число
, чтобы с вероятностью 0,77
абсолютная величина отклонения относительной частоты появления события от его
вероятности 0,5 не превысила
.
Задача 7
Отдел технического «контроля проверяет на стандартность 900 деталей. Вероятность того, что деталь стандартна, равна 0,9. Найти с вероятностью 0,95 границы, в которых будет заключено число m стандартных деталей среди проверенных.
Задача 8
Игральную кость бросают 80 раз. Найти с вероятностью 0,99 границы, в которых будет заключено число m выпадений шестерки.
Задача 9
Производится 500 подбрасываний симметричной монеты. В каких пределах будет находиться отклонение частоты выпадения герба от 0,5 с вероятностью 0,99?
Задача 10
Страховая фирма заключила 10000 договоров. Вероятность страхового случая по каждому в течение года составляет 1%. В каких границах с вероятностью 0,95 лежит количество страховых случаев?
Задача 11
Стиральным порошком «Снежок» пользуется 25% населения. Сколько людей надо опросить, чтобы определить эту долю с точностью 0,05 с вероятностью 0,95?