Двумерная дискретная случайная величина

Пример решения задачи

Задача

Закон распределения дискретной двумерной случайной величины  задан таблицей.

Требуется:

- определить одномерные законы распределения случайных величин  и ;

- найти условные плотности распределения вероятностей величин;

- вычислить математические ожидания  и

- вычислить дисперсии  и

- вычислить ковариацию

- вычислить коэффициент корреляции

x\y 6 7 10 12 14
-3 0.04 0.04 0.03 0.03 0.01
-1 0.04 0.07 0.06 0.05 0.03
1 0.05 0.08 0.09 0.08 0.05
4 0.03 0.04 0.04 0.06 0.08

Решение

Двумерной называют случайную величину (X,Y), возможные значения которой есть пары чисел (x,y). Составляющие X и Y образуют систему двух случайных величин.

Если вам сейчас не требуется платная помощь с решением задач, контрольных работ и типовых расчетов, но может потребоваться в дальнейшем, то, чтобы не потерять контакт
вступайте в группу ВК
сохраните контакт WhatsApp (+79688494598)
сохраните контакт Телеграм (@helptask) .

Одномерные законы распределения и условные распределения

Одномерные законы распределения составляющих можно получить, вычисляя вероятности их появления по формулам:

то есть проводя суммирование по столбцам или строкам таблицы

 

Определим одномерные законы распределения:

Закон распределения :

-3 -1 1 4
0.15 0.25 0.35 0.25

 

Закон распределения :

6 7 10 12 14
0.16 0.23 0.22 0.22 0.17

 

Условным законом распределения  при условии, что  называют совокупность возможных значений  и соответствующих этим значениям условных вероятностей, определяемых равенством:

Аналогично для составляющей :

Вычислим условные распределения:

Для СВ

-3 -1 1 4
0.04 0.04 0.05 0.03
0.04 0.07 0.08 0.04
0.03 0.06 0.09 0.04
0.03 0.05 0.08 0.06
0.01 0.03 0.05 0.08

 

Для СВ

6 7 10 12
0.04 0.04 0.03 0.03
0.04 0.07 0.06 0.05
0.05 0.08 0.09 0.08
0.03 0.04 0.04 0.06

 

Вычисление математического ожидания и дисперсии

Вычислим математические ожидания :

 

Средние квадратов:

Дисперсии:

 

 

Ковариация и коэффициент корреляции двумерной случайной величины

Ковариация двух случайных величин характеризует степень зависимости случайных величин, так и их рассеяние вокруг точки .

Свойства ковариации:

1) Ковариация двух независимых случайных величин равна нулю.

2) Ковариация двух случайных величин равна математическому ожиданию их произведение математических ожиданий.

3) Ковариация двухмерной случайной величины по абсолютной случайной величине не превосходит среднеквадратических отклонений своих компонентов.

 

Ковариация:

 

Коэффициент корреляции – отношение ковариации двухмерной случайной величины к произведению среднеквадратических отклонений.

Свойства коэффициента корреляции:

1. Коэффициент корреляции двух независимых случайных величин равен нулю. Отметим, что обратное утверждение неверно.

2. Коэффициент корреляции двух случайных величин не превосходит по абсолютной величине единицы.

3. Коэффициент корреляции двух случайных величин равен по модулю единице тогда и только тогда, когда между величинами существует линейная функциональная зависимость.

 

Коэффициент корреляции: