Двумерная дискретная случайная величина

Задача 1

Закон распределения дискретной двумерной случайной величины (X,Y) задан таблицей.

Требуется:

- определить одномерные законы распределения случайных величин X и Y;

- найти условные плотности распределения вероятностей величин;

- вычислить математические ожидания m_x и m_y;

- вычислить дисперсии σ_x и σ_y;

- вычислить ковариацию μ_xy;

- вычислить коэффициент корреляции r_xy.

x\y	3	5	8	10	12
-1	0.04	0.04	0.03	0.03	0.01
1	0.04	0.07	0.06	0.05	0.03
3	0.05	0.08	0.09	0.08	0.05
6	0.03	0.04	0.04	0.06	0.08

---

Задача 2

Задана дискретная двумерная случайная величина (X,Y).

а) найти безусловные законы распределения составляющих; б) построить регрессию случайной величины Y на X;  в) построить регрессию случайной величины X на Y;  г) найти коэффициент ковариации; д) найти коэффициент корреляции.

Y	X
	1	2	3	4	5
30	0.05	0.03	0.02	0.01	0.01
40	0.03	0.02	0.02	0.04	0.01
50	0.05	0.03	0.02	0.02	0.01
70	0.1	0.03	0.04	0.03	0.01
90	0.1	0.04	0.01	0.07	0.2

---

Задача 3

Двумерная случайная величина (X,Y) задана таблицей распределения. Найти законы распределения X и Y, условные законы, регрессию и линейную регрессию Y на X.

x y	1	2	3
1.5	0.03	0.02	0.02
2.9	0.06	0.13	0.03
4.1	0.4	0.07	0.02
5.6	0.15	0.06	0.01

---

Задача 4

Двумерная случайная величина (X,Y) распределена по закону

X\Y	1	2
-3	0,1	0,2
0	0,2	0,3
-3	0	0,2

Найти законы распределения случайных величины X и Y, условный закон распределения Y при X=0 и вычислить ковариацию. Исследовать зависимость случайной величины X и Y.

---

Задача 5

Случайные величины ξ и η имеют следующий совместный закон распределения:

P(ξ=1,η=1)=0.14

P(ξ=1,η=2)=0.18

P(ξ=1,η=3)=0.16

P(ξ=2,η=1)=0.11

P(ξ=2,η=2)=0.2

P(ξ=2,η=3)=0.21

1) Выписать одномерные законы распределения случайных величин ξ и η, вычислить математические ожидания Mξ, Mη и дисперсии Dξ, Dη.

2) Найти ковариацию cov(ξ,η) и коэффициент корреляции ρ(ξ,η).

3) Выяснить, зависимы или нет события {η=1} и {ξ≥η}

4) Составить условный закон распределения случайной величины γ=(ξ|η≥2) и найти Mγ и Dγ.

---

Задача 6

Дан закон распределения двумерной случайной величины (ξ,η):

	ξ=-1	ξ=0	ξ=2
η=1	0,1	0,1	0,1
η=2	0,1	0,2	0,1
η=3	0,1	0,1	0,1

1) Выписать одномерные законы распределения случайных величин ξ и η, вычислить математические ожидания M_ξ, M_η и дисперсии D_ξ, D_η

2) Найти ковариацию cov(ξ,η) и коэффициент корреляции ρ(ξ,η).

3) Являются ли случайные события |ξ>0| и |η> ξ | зависимыми?

4) Составить условный закон распределения случайной величины γ=(ξ|η>0) и найти M_γ  и D_γ.

---

Задача 7

Дано распределение случайного вектора (X,Y). Найти ковариацию X и Y.

X\Y	1	2	4
-2	0,25	0	0,25
1	0	0,25	0
3	0	0,25	0

 

---

Задача 8

Случайные приращения цен акций двух компаний за день имеют совместное распределение, заданное таблицей. Найти ковариацию этих случайных величин.

Y\X	-1	1
-1	0,4	0,1
1	0,2	0,3

 

 

---

Задача 9

Найдите ковариацию Cov(X,Y) для случайного дискретного вектора (X,Y), распределенного по закону:

	X=-3	X=0	X=1
Y=-2	0,3	?	0,1
Y=1	0,1	0,1	0,2

 

---

Задача 10

Совместный закон распределения пары  задан таблицей:

x\h	-1	0	1
-1	1/12	1/4	1/6
1	1/4	1/12	1/6

Найти закон распределения вероятностей случайной величины xh и вычислить cov(2x-3h,x+2h). Исследовать вопрос о зависимости случайных величин x и h.

 

---

Задача 11

Составить двумерный закон распределения случайной величины (X,Y), если известны законы независимых составляющих. Чему равен коэффициент корреляции r_xy?

X	20	25	30	35
P	0.1	0.1	0.4	0.4

и

Y	30	40	50
P	0.2	0.4	0.4

 

---

Задача 12

Задано распределение вероятностей дискретной двумерной случайной величины (X,Y):

X\Y	0	1	2
-1	?	0,1	0,2
1	0,1	0,2	0,3

 

---

Задача 13

Совместное распределение двух дискретных случайных величин ξ и η задано таблицей:

ξ\η	-1	1	2
0	1/7	2/7	1/7
1	1/7	1/7	1/7

Вычислить ковариацию cov(ξ-η,η+5ξ). Зависимы ли ξ и η?

---

Задача 14

Рассчитать коэффициенты ковариации и корреляции на основе заданного закона распределения двумерной случайной величины и сделать выводы о тесноте связи между X и Y.

X\Y	2,3	2,9	3,1	3,4
0,2	0,15	0,15	0	0
2,8	0	0,25	0,05	0,01
3,3	0	0,09	0,2	0,1

 

---

Задача 15

Задан закон распределения случайного вектора (ξ,η). Найдите ковариацию (ξ,η) и коэффициент корреляции случайных величин.

x\y	1	4
-10	0,1	0,2
0	0,3	0,1
20	0,2	0,1

---

Задача 16

Для случайных величин, совместное распределение которых задано таблицей распределения. Найти:

а) законы распределения ее компонент и их числовые характеристики;

b) условные законы распределения СВ X при условии Y=b и СВ Y при условии X=a, где a и b – наименьшие значения X и Y.

с) ковариацию и коэффициент корреляции случайных величин X и Y;

d) составить матрицу ковариаций и матрицу корреляций;

e) вероятность попадания в область, ограниченную линиями y=16-x² и y=0.

f) установить, являются ли случайные величины X и Y зависимыми; коррелированными.

X\Y	-1	0	1	2
-1	0	1/6	0	1/12
0	1/18	1/9	1/12	1/9
2	1/6	0	1/9	1/9

---

Задача 17

Совместный закон распределения случайных величин X и Y задан таблицей:

X\Y	0	1	3
0	0,15	0,05	0,3
-1	0	0,15	0,1
-2	0,15	0	0,1

Найдите:

а) закон распределения случайной величины X и закон распределения случайной величины Y;

б) EX, EY, DX, DY, cov(2X+3Y, X-Y), а также математическое ожидание и дисперсию случайной величины V=6X-8Y+3.

---

Задача 18

Известен закон распределения двумерной случайной величины (X,Y).

а) найти законы распределения составляющих и их числовые характеристики (M[X],D[X],M[Y],D[Y]);

б) составить условные законы распределения составляющих и вычислить соответствующие мат. ожидания;

в) построить поле распределения и линию регрессии Y по X и X по Y;

г) вычислить корреляционный момент (коэффициент ковариации) μ_xy и коэффициент корреляции r_xy.

	5	20	35
100	---	---	0.05
115	---	0.2	0.15
130	0.15	0.35	---
145	0.1	---	----