Схема повторных независимых испытаний.
Формула Бернулли

Краткая теория


Схема Бернулли

Теория вероятностей имеет дело с такими экспериментами, которые можно повторять (по крайней мере теоретически) неограниченное число раз. Пусть некоторый эксперимент повторяется  раз, причем результаты каждого повторения не зависят от исходов предыдущих повторений. Такие серии повторений называют независимыми испытаниями. Частным случаем таких испытаний являются независимые испытания Бернулли, которые характеризуются двумя условиями:

1) результатом каждого испытания является один из двух возможных исходов, называемых соответственно  «успехом» или «неудачей».

2) вероятность «успеха»,  в каждом последующем испытании не зависит от результатов предыдущих испытаний и остается постоянной.

Схему испытаний Бернулли называют также биномиальной схемой, а соответствующие вероятности – биномиальными, что связано с использованием биномиальных коэффициентов .

Теорема Бернулли

Если производится серия из  независимых испытаний Бернулли, в каждом из которых «успех» появляется с вероятностью , то вероятность того, что «успех» в  испытаниях появится ровно  раз, выражается формулой:

где  – вероятность «неудачи».

 – число сочетаний  элементов по   (см. основные формулы комбинаторики)

Эта формула называется формулой Бернулли.

Формула Бернулли позволяет избавиться от большого числа вычислений — сложения и умножения вероятностей - при достаточно большом количестве испытаний.

Если число испытаний n велико, то пользуются:

Примеры решения задач


Пример 1

Всхожесть семян некоторого растения составляет 70%. Какова вероятность того, что из 10 посеянных семян взойдут: 8, по крайней мере 8; не менее 8?

Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь - свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

Решение

Воспользуемся формулой Бернулли:

В нашем случае

Пусть событие  – из 10 семян взойдут 8:

 

Пусть событие  – взойдет по крайней мере 8 (это значит 8, 9 или 10)

 

Пусть событие  – взойдет не менее 8 (это значит 8,9 или 10)

Ответ: P(A)=0.2335;P(B)=0.3828;  P(C)=0.3828


Пример 2

В результате обследования были выделены семьи, имеющие по четыре ребенка. Считая вероятности появления мальчика и девочки в семье равными, определить вероятности появления в ней:

а) одного мальчика;

б) двух мальчиков.

Решение

Вероятность появления мальчика или девочки равна . Вероятность появления мальчика в семье, имеющей четырех детей, находится по формуле Бернулли:

В нашем случае:

 

б) Вероятность появления в семье двух мальчиков:

Ответ: а) ; б) .


Пример 3

Два равносильных противника играют в шахматы. Что вероятнее а) выиграть одну партию из двух или две партии из четырех? б) выиграть не менее двух партий из четырех или не менее трех партий из пяти? Ничьи во внимание не принимаются.

Решение

Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь - свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

Играют равносильные шахматисты, поэтому вероятность выигрыша , следовательно вероятность проигрыша тоже равна 1/2. Так как во всех партиях вероятность выигрыша постоянна и безразлично, в какой последовательности будут выиграны партии, то применима формула Бернулли:

а) Вероятность выиграть 1 партию из двух:

Вероятность выиграть 2 партии из четырех:

Вероятнее выиграть одну партию из 2-х.

 

б) Вероятность выиграть не менее 2-х партий из 4:

 

Вероятность выиграть не менее 3-х партий из 5:

Вероятнее выиграть не менее 2-х партий из 4.

Ответ: а) Вероятнее выиграть одну партию из 2-х; б) Вероятнее выиграть не менее 2-х партий из 4.

Задачи контрольных и самостоятельных работ


Задача 1

Всхожесть семян данного сорта имеет вероятность 0.7. Оценить вероятность того, что из 9 семян взойдет не менее 4 семян.


Задача 2

Найти вероятность того, что в n независимых испытаниях событие A появится ровно k раз, зная, что в каждом испытании вероятность появления события равна p.

.


Задача 3

а) Найти вероятность того, что событие А появится не менее трех раз в четырех независимых испытаниях, если вероятность появления события А в одном испытании равна 0,4.  б) событие В появится в случае, если событие А наступит не менее четырех раз. Найти вероятность наступления события В, если будет произведено пять независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,8.


Задача 4

В ралли участвует 10 однотипных машин. Вероятность выхода из строя за период соревнований каждой из них 1/20.

Найти вероятность того, что к финишу придут не менее 8 машин.


Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь - свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

Задача 5

Баскетболист бросает мяч 4 раза. Вероятность попадания при каждом броске равна 0,7. Найти вероятность того, что он попадет в корзину: а) три раза; б) менее 3 раз; б) более трех раз.


Задача 6

В семье пятеро детей. Считая, что вероятность рождения мальчика равна 0.4, найти вероятность того, что среди этих детей есть не менее двух девочек.


Задача 7

В микрорайоне пять машин технической службы. Для бесперебойной работы необходимо, чтобы не меньше трех машин были в исправном состоянии. Считая верояность исправного состояния для всех машин одинаковой и равной 0,75, найти вероятность бесперебойной работы технической службы в микрорайоне.


Задача 8

В среднем каждый десятый договор страховой компании завершается выплатой по страховому случаю. Компания заключила пять договоров. Найти вероятность того, что страховой случай наступит: а) один раз; б) хотя бы один раз.

 


Задача 9

В мастерской работают 6 моторов. Для каждого мотора вероятность перегрева к обеленному перерыву равна 0,8. Найти вероятность того, что к обеденному перерыву перегреются 4 мотора.


Задача 10

Пусть вероятность того, что телевизор потребует ремонта в течение гарантийного срока, равна 0,2. Найти вероятность того, что в течение гарантийного срока из 6 телевизоров: а) не более одного потребует ремонта; б) хотя бы один не потребует ремонта.


Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь - свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

Задача 11

Контрольное задание состоит из 5 вопросов, на каждый из которых дается 4 варианта ответа, причем один из них правильный, а остальные неправильные. Найдите вероятность того, что учащийся, не знающий ни одного вопроса, дает: а) 3 правильных ответа; б) не менее 3-х правильных ответов (предполагается, что учащийся выбирает ответы наудачу).


Задача 12

Стрелок попадает в мишень с вероятностью 0,6. Производится серия из 4 выстрелов.

а) Какова вероятность того, что число промахов будет равно числу попаданий?

б) Найти вероятность хотя бы одного промаха.


Задание 13

Дана вероятность p=0.5 появления события A в серии из  независимых испытаний. Найти вероятность того, что в этих испытаниях событие  появится:

а) ровно  раза

б) не менее  раз

в) не менее  раза и не более  раза.


Задача 14

Применяемый метод лечения в 80% случаев приводит к выздоровлению. Найти вероятность того, что из четырех больных поправятся:

а) трое;

б) хотя бы один;

в) найти наивероятнейшее количество поправившихся больных и соответствующую этому событию вероятность.