Правило сложения дисперсий

Краткая теория

Если статистическая совокупность разбита на группы по какому-либо признаку, то для оценки влияния различных факторов, определяющих колеблемость индивидуальных значений признака, можно воспользоваться разложением дисперсии на составляющие: на межгрупповую и внутригрупповую дисперсии.

Если рассчитать дисперсию признака по всей изучаемой совокупности, т.е. общую дисперсию , то полученный показатель будет характеризовать вариацию признака как результат влияния всех факторов, определяющих индивидуальные различия единиц совокупности. Если же поставить дальнейшую задачу - выделить в составе общей дисперсии ту ее часть, которая обусловлена влиянием какого-либо определенного фактора, то следует разбить изучаемую совокупность на группы, положив в основу группировки интересующий нас фактор. Затем нужно изучить раздельно вариацию признака внутри однородных в отношении данного фактора групп и изменения в величине признака от группы к группе. Выполнение такой группировки позволяет разложить общую дисперсию признака на две дисперсии, одна из которых будет характеризовать часть вариации, обусловленную влиянием фактора, положенного в основу группировки, а вторая - вариацию, происходящую под влиянием прочих факторов (кроме фактора, положенного в основу группировки).

Вариацию, обусловленную влиянием фактора, положенного в основу группировки, характеризует межгрупповая дисперсия , которая является мерой колеблемости частных средних по группам вокруг общей средней и исчисляется по формуле:

где - число единиц в j-й группе; - частная средняя по j-й группе; - общая средняя по совокупности единиц.

Вариацию, обусловленную влиянием прочих факторов, характеризует в каждой группе внутригрупповая дисперсия .

По совокупности в целом вариация значений признака под влиянием прочих факторов характеризуется средней из внутригрупповых дисперсий:

Между общей дисперсией , средней из внутригрупповых дисперсий и межгрупповой дисперсиями существует соотношение, определяемое правилом сложения дисперсий. Согласно этому правилу, общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых и межгрупповой дисперсий:

Смежные темы решебника:

Примеры решения задач

Пример 1

Скачать пример 1 в формате pdf

Имеются данные о фонде месячной заработной платы и средней зарплаты одного рабочего по трем цехам.

Цех	Средняя месячная зарплата одного рабочего (у.е.)	Фонд зарплаты (у.е.)	Дисперсия заработной платы (у.е.)
1	148	41200.7	30
2	150	51290.4	21
3	151	41530.5	49

Требуется:

1. Определить среднюю зарплату одного рабочего по предприятию в целом.

2. Общую дисперсию по зарплате.

На сайте можно заказать решение задач, контрольных, самостоятельных, домашних работ (возможно срочное решение), а также онлайн-помощь на экзамене или зачете. Для этого вам нужно только связаться со мной:

Телеграм @helptask
ВКонтакте (vk.com/task100)
WhatsApp +7 (968) 849-45-98

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту.

Подробное решение получите точно в срок или раньше.

Решение

1) Среднюю заработную плату вычислим по формуле средней гармонической:

где – фонд заработной платы в i-м цехе

– средняя заработная плата в i-м цехе

2) Вычислим количество рабочих в цеху, разделив фонд заработной платы на среднюю месячную заработную плату по цеху:

Средняя из внутригрупповых дисперсий:

Рассчитаем межгрупповую дисперсию:

Согласно правилу сложения дисперсий:

Вывод к задаче

Таким образом средняя заработная плата по трем цехам составила 149,685 у.е. при общей дисперсии заработной платы .

Пример 2

Скачать пример 2 в формате pdf

Распределение выручки от реализации путевок по направлениям для трех фирм характеризуется следующими данными:

Фирма	Общая выручка	В том числе международный туризм
1	160	120
2	320	180
3	460	380
Итого	940	680

Определить:

а) внутрифирменные дисперсии доли;

б) среднюю из внутрифирменных дисперсий;

в) межгрупповую дисперсию;

г) общую дисперсию.

Проверить правильность произведенных расчетов с помощью правила расчета дисперсий доли.

Решение

а) Вычислим внутригрупповые дисперсии доли:

б) Средняя из внутригрупповых дисперсий:

в) Вычислим среднюю долю для всей совокупности:

Средняя по 1-й фирме:

Средняя по 2-й фирме:

Средняя по 3-й фирме:

Вычислим межгрупповую дисперсию:

Вычислим общую дисперсию:

Согласно правилу сложения дисперсий, общая дисперсия будет равна:

Вывод к задаче

Таким образом средняя из внутригрупповых дисперсий доли составила 0,186, межгрупповая дисперсия доли 0,014, а общая дисперсия доли равна 0,2.

Пример 3

Скачать пример 3 в формате pdf

Найдите дисперсию по правилу сложения дисперсий.

I группа	II группа

13	18
14	19
15	20
17	22
16	23
15	24

Телеграм @helptask
ВКонтакте (vk.com/task100)
WhatsApp +7 (968) 849-45-98

Подробное решение получите точно в срок или раньше.

Решение

Вычислим среднюю первой группы:

Вычислим дисперсию 1-й группы.

Средняя квадратов:

Дисперсия:

Вычислим среднюю 2- й группы:

Вычислим дисперсию 2-й группы.

Средняя квадратов:

Дисперсия:

Средняя из внутригрупповых дисперсий:

Вычислим общую среднюю:

Вычислим межгрупповую дисперсию:

Общая дисперсия по правилу сложения дисперсий: