Линейный коэффициент корреляции

Под теснотой связи между двумя величинами понимают степень сопряженности между ними, которая обнаруживается с изменением изучаемых величин. Если каждому заданному значению   соответствуют близкие друг другу значения , то связь считается тесной (сильной); если же значения  сильно разбросаны, то связь считается менее тесной.

Рассмотрим наиболее важный для практики и теории случай линейной зависимости вида:

При тесной корреляционной связи корреляционное поле представляет собой более или менее сжатый эллипс. Две корреляционные зависимости переменной  от  приведены на рисунке.

Очевидно, что в случае (а) зависимость между переменными менее тесная, чем в случае (б), так как точки корреляционного поля (а) дальше отстоят от линии регрессии, чем точки поля (б).

Перейдем к оценке тесноты линейной корреляционной зависимости. Для показателя тесноты связи нужная такая стандартная система единиц измерения, в которой данные по различным характеристикам оказались бы сравнимы между собой. Статистика знает такую систему единиц. Эта система использует в качестве единицы измерения переменной ее среднее квадратическое отклонение .

Учтем, что

и запишем уравнение парной линейной зависимости в эквивалентном виде:

В этой системе величина:

показывает, на сколько величин  изменится в среднем , когда  увеличится на одно .

Величина  является показателем тесноты связи и называется линейным коэффициентом корреляции. Коэффициент корреляции, определяемый по выборочным данным, называется выборочным коэффициентом корреляции.

Если , то корреляционная связь между переменными называется прямой, если  – обратной.

Приведем другие модификации формулы для расчета линейного коэффициента корреляции:

или

Наиболее часто для расчета используют формулу, получаемую простыми преобразованиями:

По этой формуле  находится непосредственно из данных наблюдений и на значении  не скажутся округления данных, связанных с расчетом средних и дисперсий.

Линейный выборочный коэффициент корреляции  (при достаточно большом объеме выборки ) обладает следующими свойствами:

Коэффициент корреляции принимает значения на отрезке , т.е. . При этом, чем ближе по модулю  к единице – тем теснее связь. При  корреляционная связь представляет собой линейную функциональную зависимость. При этом все наблюдаемые значения располагаются на прямой линии. При   линейная корреляционная связь отсутствует. При этом линия регрессии параллельна  оси .

Расчет линейного коэффициента корреляции предполагает, что переменные  и  распределены нормально. В других случаях (когда распределения  и  отклоняются от нормальных) линейный коэффициент корреляции не следует рассматривать как строгую меру взаимосвязи переменных.