Средняя арифметическая взвешенная и средняя гармоническая

В процессе обработки и обобщения статистических данных возникает необходимость определения средних величин. Как правило, индивидуальные значения одного и того же признака у различных единиц совокупности неодинаковы. Средняя величина - обобщающая характеристика изучаемого признака в исследуемой совокупности. Она отражает его типичный уровень в расчете на единицу совокупности в конкретных условиях места и времени. Например, при изучении доходов рабочих концерна обобщающей характеристикой служит средний доход одного рабочего. Для его определения общую сумму средств, направленных на потребление, в виде заработной платы, социальных и трудовых льгот, материальной помощи, дивидендов по акциям и процентов по вкладам в имущество концерна за рассматриваемый период (год, квартал, месяц) делят на численность рабочих концерна.

Очень важное правило - вычислять средние величины лишь по однородной совокупности единиц. Только при выполнении этого условия средняя как обобщающая характеристика отражает общее, типичное, закономерное, присущее всем единицам исследуемой совокупности. Прежде чем вычислять средние величины, необходимо произвести группировку единиц исследуемой совокупности, выделив качественно однородные группы.

Средняя, рассчитанная по совокупности в целом, называется общей средней, средние, исчисленные для каждой группы, - групповыми средними. Общая средняя отражает общие черты изучаемого явления, групповая средняя дает характеристику размера явления, складывающуюся в конкретных условиях данной группы. Сравнительный анализ групповых и общих средних используется для характеристики социально-экономических типов изучаемого общественного явления. 

В статистике используются различные виды средних величии: средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя геометрическая, средняя квадратическая, средняя хронологическая и т. д. При использовании средних величин важно правильно выбрать вид средней и способ ее расчета. Самой распространенной средней, используемой в социально-экономическом анализе, является средняя арифметическая.

Средние арифметические бывают простые и взвешенные. Средняя арифметическая простая рассчитывается по формуле:

где  – индивидуальные значения признака, средняя величина которых находится,  – количество единиц совокупности.

Средняя арифметическая простая применяется в тех случаях, когда каждое индивидуальное значение признака встречается один раз или одинаковое количество раз.

Если же варианты (значения признака) встречаются неодинаковое количество раз, то используется средняя арифметическая взвешенная:

где  – варианты, значения признака,  – частота появления соответствующего значения признака.

В некоторых случаях средняя рассчитывается по другому – когда известен ряд вариант  и ряд произведений вариант на частоту , а сама частота  неизвестна. В этом случае средняя рассчитывается по формуле средней гармонической взвешенной:

где

Средняя гармоническая может иметь и простую форму расчета, которая в практике статистики используется крайне редко и представляет собой простую среднюю из обратных значений признака.

Величина средних величин зависит как от индивидуальных значений признака в случае использования простых видов средних величин, так и от удельного веса этих значений в общей совокупности при использовании взвешенных видов.

Формулы средних взвешенных применяются во всех случаях, когда варианты значений признака имеют различный удельный вес, а формулы простых (не взвешенных) средних  - когда варианты имеют равные веса. В первом случае расчет ведется по уже сгруппированным данным на основании дискретных рядов распределения, а во втором — обычно по несгруппированным, где каждый признак представлен одним числом или равное число раз. Неправильный выбор формулы, расчет средних показателей по формуле средней простой вместо средней взвешенной может привести к серьезным ошибкам.

Средние величины применяются для оценки достигнутого изучаемого показателя, при анализе и планировании экономической деятельности предприятий. Средняя величина всегда величина именованная и имеет ту же размерность что и признак у отдельных единиц совокупности. Основным условием правильного расчета средней величины является качественная однородность совокупностей, по которой исчислена средняя.