Парная линейная регрессия и метод наименьших квадратов (МНК)

Краткая теория

Простейшей системой корреляционной связи является линейная связь между двумя признаками - парная линейная корреляция. Практическое значение ее в том, что есть системы, в которых среди всех факторов, влияющих на результативный признак, выделяется один важнейший фактор, который в основном определяет вариацию результативного признака. Измерение парных корреляций составляет необходимый этап в изучении сложных, многофакторных связей. Есть такие системы связей, при изучении которых следует предпочесть парную корреляцию. Внимание к линейным связям объясняется ограниченной вариацией переменных и тем, что в большинстве случаев нелинейные формы связей для выполнения расчетов преобразуются в линейную форму.

Уравнение парной линейной корреляционной связи называется уравнением парной регрессии и имеет вид:

где – среднее значение результативного признака при определенном значении факторного признака ;

– свободный член уравнения;

– коэффициент регрессии, измеряющий среднее отношение отклонения результативного признака от его средней величины к отклонению факторного признака от его средней величины на одну единицу его измерения – вариация , приходящаяся на единицу вариации .

Параметры уравнения находят методом наименьших квадратов (метод решения систем уравнений, при котором в качестве решения принимается точка минимума суммы квадратов отклонений), то есть в основу этого метода положено требование минимальности сумм квадратов отклонений эмпирических данных от выровненных :

Для нахождения минимума данной функции приравняем к нулю ее частные производные.

В результате получим систему двух линейных уравнений, которая называется системой нормальных уравнений:

Решая эту систему в общем виде, получим:

Параметры уравнения парной линейной регрессии иногда удобно исчислять по следующим формулам, дающим тот же результат:

или

Если коэффициент линейной корреляции уже рассчитан, то легко может быть найден коэффициент парной регрессии:

где , – стандартные отклонения.

Примеры решения задач

Задача 1

Имеются следующие данные о цене на нефть (ден. ед.) и индексе акций нефтяных компаний (усл. ед.).

Цена на нефть (ден. ед.)	17,28	17,05	18,30	18,80	19,20	18,50
Индекс акций (усл. ед.)	537	534	550	555	560	552

Построить корреляционное поле.
Предполагая, что между переменными x и y существует линейная зависимость, найти уравнение линейной регрессии
Оценить тесноту связи.

Решение

Построим корреляционное поле, для этого отметим в системе координат 6 точек, соответствующих данным парам значений этих признаков.

Корреляционное поле и линия регрессии

Расположение точек на рисунке показывает, что зависимость между компонентами и двумерной дискретной случайной величины может выражаться линейным уравнением регрессии .

Составим расчетную таблицу:

Расчетная вспомогательная таблица


1	17,28	537	298,5984	288369	9279,36
2	17,05	534	290,7025	285156	9104,7
3	18,3	550	334,89	302500	10065
4	18,8	555	353,44	308025	10434
5	19,2	560	368,64	313600	10752
6	18,5	552	342,25	304704	10212
Сумма	109,13	3288	1988,521	1802354	59847,06

Коэффициенты уравнения регрессии можно найти методом наименьших квадратов, решив систему нормальных уравнений:

На сайте можно заказать решение задач, контрольных, самостоятельных, домашних работ (возможно срочное решение). Для этого вам нужно только связаться со мной:

Телеграм (+7 968 849-45-98)
ВКонтакте
WhatsApp (+7 968 849-45-98)

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Подставляя в систему уравнений числовые значения, получаем:

Решая систему уравнений, получаем:

Уравнение парной линейной регрессии:

Коэффициент линейной корреляции вычислим по формуле:

Вывод

Таким образом уравнение линейной регрессии, устанавливающее зависимость между ценой на нефть и индексом акций имеет вид - с увеличением цены на нефть на 1 ден.ед. цена акций увеличивается на 12,078 ед. Коэффициент корреляции очень близок к единице - между исследуемыми величинами существует очень тесная связь.

Задача 2

По территории региона приводятся данные за 2011 г.

Требуется:

Построить линейное уравнение парной регрессии

от

Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и среднюю ошибку аппроксимации.

Оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции с помощью

–критерия Фишера и

–критерия Стьюдента.

Выполнить прогноз заработной платы

при прогнозном значении среднедушевого прожиточного минимума

, составляющем 107% от среднего уровня.

Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал.

На одном графике построить исходные данные и теоретическую прямую.

Номер региона	Среднедушевой прожиточный минимум в день одного трудоспособного, руб.	Среднедневная заработная плата, руб.
1	75	133
2	78	125
3	81	129
4	93	153
5	86	140
6	77	135
7	85	135
8	77	132
9	89	161
10	95	159
11	72	120
12	115	160

Решение

Телеграм (+7 968 849-45-98)
ВКонтакте
WhatsApp (+7 968 849-45-98)

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Уравнение линейной парной регрессии

1) Для расчета параметров уравнения линейной регрессии строим расчетную таблицу:

Расчетная вспомогательная таблица

№
1	75	133	9975	5625	17689	129.808	3.192	10.189	2.400
2	78	125	9750	6084	15625	132.844	-7.844	61.528	6.275
3	81	129	10449	6561	16641	135.88	-6.88	47.334	5.333
4	93	153	14229	8649	23409	148.024	4.976	24.761	3.252
5	86	140	12040	7396	19600	140.94	-0.94	0.884	0.671
6	77	135	10395	5929	18225	131.832	3.168	10.036	2.347
7	85	135	11475	7225	18225	139.928	-4.928	24.285	3.650
8	77	132	10164	5929	17424	131.832	0.168	0.028	0.127
9	89	161	14329	7921	25921	143.976	17.024	289.817	10.574
10	95	159	15105	9025	25281	150.048	8.952	80.138	5.630
11	72	120	8640	5184	14400	126.772	-6.772	45.860	5.643
12	115	160	18400	13225	25600	170.288	-10.288	105.843	6.430
Итого	1023	1682	144951	88753	238040			700.703	52.334
Среднее значение	85.250	140.167	12079.250	7396.083	19836.667				4.361
	11.337	13.783
	128.521	189.972

Получено уравнение линейной регрессии

Вывод

С увеличением среднедушевого прожиточного минимума на 1 руб. среднедневная заработная плата возрастает в среднем на 1.012 руб.

Коэффициент линейной корреляции

2) Теснота линейной связи оценивается с помощью коэффициента корреляции :

Коэффициент детерминации:

Вывод

Это означает, что 69.2% вариации заработной платы объясняется вариацией фактора –среднедушевого прожиточного минимума.

Средняя ошибка аппроксимации

Качество модели можно оценить с помощью средней ошибки аппроксимации:

Вывод

Качество построенной модели оценивается как хорошее, так как средняя ошибка аппроксимации не превышает 8-10%.

F-критерий

3) Рассчитаем – критерий.

По таблице F-распределения Фишера-Снедекора, при уровне значимости α=0,05 и числе степеней свободы k₁=1 и k₂=12-2=10, критическое значение:

Вывод

– гипотеза о статистической незначимости уравнения регрессии отклоняется.

Статистическая значимость параметров регрессии

Оценку статистической значимости параметров регрессии проведем с помощью t–статистики Стьюдента и путем расчета доверительного интервала каждого из показателей.

Выдвигаем гипотезу о статистически незначимом отличии показателей от нуля:

для числа степеней свободы и составит 2,23

Телеграм (+7 968 849-45-98)
ВКонтакте
WhatsApp (+7 968 849-45-98)

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Определим случайные ошибки

Тогда:

Фактическое значение превосходит табличное значение t–статистики. Нулевая гипотеза отклоняется – то есть не случайно отличается от нуля, а статистически значимо.

Рассчитаем доверительные интервалы для параметров регрессии и . Для этого определим предельную ошибку для каждого показателя:

Доверительные интервалы:

или

Точечный прогноз

4) Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Если прогнозное значение прожиточного минимума составит

руб., тогда прогнозное значение среднедневной заработной платы составит:

Интервальный прогноз

5) Ошибка прогноза составит:

Предельная ошибка прогноза, которая в 95% случаев не будет превышена, составит:

Доверительный интервал прогноза:

6) Построим исходные данные и теоретическую прямую:

Корреляционное поле и прямая уравнения регрессии