Проверка гипотезы о показательном распределении генеральной совокупности

Краткая теория
Примеры решения задач
Задачи контрольных и самостоятельных работ

Краткая теория

Пусть эмпирическое распределение непрерывной случайной величины задано в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот .

		…
		…

Требуется, используя критерий Пирсона, проверить гипотезу о том, что случайная величина имеет показательное распределение.

Для того чтобы при уровне значимости проверить гипотезу о том, что непрерывная случайная величина распределена по показательному закону, надо:

1. Вычислить выборочную среднюю , причем в качестве вариант принимают среднее арифметическое концов интервала:

2. Принять в качестве оценки параметра показательного распределения величину, обратную выборочной средней:

3. Найти вероятности попадания в частичные интервалы по формуле:

4. Вычислить теоретические частоты:

где – объем выборки

5. Сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона. Для этого:

а) составляют расчетную таблицу (см. пример), по которой находят наблюдаемое значение критерия

б) по таблице критических точек распределения , по заданному уровню значимости и числу степеней свободы ( – число групп выборки) находят критическую точку правосторонней критической области.

Если – нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности. Если - гипотезу отвергают.

Замечание.

Малочисленные частоты следует объединить, в этом случае и соответствующие им теоретические частоты также надо сложить. Если производилось объединение частот, то при определении числа степеней свободы по формуле следует в качестве принять число групп выборки, оставшихся после объединения частот.

Примеры решения задач

Пример 1

Для случайной величины X составить интервальный вариационный ряд, вычислить выборочные средние характеристики, подобрать теоретический закон распределения, проверить его согласование с теоретическим критерием Пирсона при α=0,05.

15	22	33.5	25	9	4.2	12.5	60	41	5
16.8	10.2	35	49	19	18	20	40	5	14.2
2.5	2	3.5	18.1	18.9	2.3	38.2	28.7	5	21.5
25.5	6.8	4.8	6.5	18.3	22.5	0.5	55.5	21.5	75
30	7	45	28	24	15	46.5	32	30	8.5

Решение

На сайте можно заказать решение задач, контрольных, самостоятельных, домашних работ (возможно срочное решение), а также онлайн-помощь на экзамене или зачете. Для этого вам нужно только связаться со мной:

Телеграм @helptask
ВКонтакте (vk.com/task100)
WhatsApp +7 (968) 849-45-98

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту.

Подробное решение получите точно в срок или раньше.

Разобьем заданную совокупность значений на непересекающиеся и примыкающие друг к другу интервалы.

Размах вариации равен:

Величину интервала определим по формуле:

Подсчитаем количество значений заданной совокупности, попадающее в соответствующий интервал. Получаем следующее интервальное распределение.

0.5-11.2	11.2-21.9	21.9-32.6	32.6-43.3	43.3-54	54-64.7	64.7-75.4	Итого
16	13	10	5	3	2	1	50
0.32	0.26	0.2	0.1	0.06	0.04	0.02	--

Вычислим характеристики распределения. Для этого составим расчетную таблицу. В качестве величины х возьмем середины интервалов.

5.85	16.55	27.25	37.95	48.65	59.35	70.05	Итого
16	13	10	5	3	2	1	50
93.6	215.15	272.5	189.75	145.95	118.7	70.05	1105.7
547.56	3560.732	7425.625	7201.012	7100.467	7044.845	4907.002	37787.24

Выборочная средняя:

Вычислим выборочную дисперсию.

Средняя квадратов:

Выборочная дисперсия:

Среднее квадратическое отклонение:

Найдем оценку параметра предполагаемого показательного распределения:

Найдем вероятности попадания случайной величины х в каждый из интервалов по формуле:

Теоретические частоты:

, где -объем выборки

Составим расчетную таблицу:

Интервалы	0.5-11.2	11.2-21.9	21.9-32.6	32.6-43.3	43.3-54	54-64.7	64.7-75.4
	1	0.6026	0.3715	0.229	0.1411	0.087	0.0536
	0.6026	0.3715	0.229	0.1411	0.087	0.0536	0
	0.397	0.231	0.142	0.088	0.054	0.034	0.054
	19.9	11.6	7.1	4.4	2.7	1.7	2.6

Проверим степень согласия эмпирического и теоретического распределения по критерию Пирсона. Объединяем малочисленные частоты (n<5).

Интервалы	0.5-11.2	11.2-21.9	21.9-32.6	32.6-43.3	43.3-75.4	Итого
	16	13	10	5	6	50
	19.9	11.6	7.1	4.4	7
	0.764	0.169	1.185	0.082	0.143	2.342

Из расчетной таблицы

Уровень значимости

Число степеней свободы

По таблице критических точек распределения:

Гипотеза о распределении случайной величины по показательному закону подтверждается.

Пример 2

При уровне значимости α = 0,01 проверить гипотезу о показательном законе распределения признака X генеральной совокупности по выборке, данные которой приведены в таблице:

x_i	3.0-3.6	3.6-4.2	4.2-4.8	4.8-5.4	5.4-6.0	6.0-6.6	6.6-7.2
n_i	43	35	22	15	8	5	2

Решение

Телеграм @helptask
ВКонтакте (vk.com/task100)
WhatsApp +7 (968) 849-45-98

Подробное решение получите точно в срок или раньше.

Составим расчетную таблицу

Интервалы	Середина интервала,
3 – 3.6	3.3	43	141.9
3.6 – 4.2	3.9	35	136.5
4.2 – 4.8	4.5	22	99.0
4.8 – 5.4	5.1	15	76.5
5.4 – 6	5.7	8	45.6
6 – 6.6	6.3	5	31.5
6.6 – 7.2	6.9	2	13.8
Итого	--	130	544.8

Средняя:

Оценка параметра предполагаемого показательного распределения:

Теоретические частоты находим по формуле:

Получаем:

Сравним эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона. Объединим малочисленные частоты и соответствующие им теоретические:

Интервалы,
3 – 3.6	43	74.9	13.6
3.6 – 4.2	35	7.3	105.1
4.2 – 4.8	22	6.4	38.0
4.8 – 5.4	15	5.5	16.4
5.4 – 6	8	4.9	2.0
6 – 7.2	7	31	18.6
Итого	130	130	193.7

Из расчетной таблицы

Уровень значимости

Число степеней свободы

По таблице критических точек распределения:

Гипотезу о распределении случайной величины по показательному закону отвергаем.

Задачи контрольных и самостоятельных работ

Задача 1

По заданной выборке случайной величины вычислить основные эмпирические характеристики:

- выборочную среднюю;

- выборочную дисперсию;

- исправленное значение выборочной дисперсии;

- среднее квадратическое отклонение;

- построить доверительный интервал для оценки математического ожидания. Считать надежность оценки равной 0,95;

- построить доверительный интервал для оценки дисперсии. Считать надежность оценки равной 0,95.

- построить по данным выборки полигон и гистограмму. Подобрать подходящий теоретический закон распределения вероятностей. Проверить гипотезу о соответствии эмпирического закона распределения выбранному теоретическому при уровне значимости α=0.05.

0	0.4	1.5	0.7	2.9	0.3	2.1	0.6	0.2	0.3
7.4	0.2	0.1	1.3	1.5	0.3	1	0.1	2.5	1.2
3.5	5.2	1.3	1	3.3	2.5	9.6	1.6	0.5	3.1
0.8	1.9	0	0.5	1.5	2.1	3	2.3	1	2.3
1.5	2.2	1.4	0.3	0.9	1.2	2.3	0.3	1.1	2
0.2	1.3	0.4	0.1	6.2	4.4	1.4	0.9	1.7	0.5

Телеграм @helptask
ВКонтакте (vk.com/task100)
WhatsApp +7 (968) 849-45-98

Подробное решение получите точно в срок или раньше.

Задача 2

Распределение 200 элементов (устройств) по времени безотказной работы (в часах) представлено в таблице:

	0-5	5-10	10-15	15-20	20-25	25-30
	133	45	15	4	2	1

На уровне значимости 0.05 проверить гипотезу о показательном законе распределения признака (случайной величины) X, используя критерий χ² –Пирсона.

Задача 3

Для изучения качества транзисторов на продолжительность их работы в часах было выборочно проведено обследование транзисторов.

Требуется:

1. Составить интервальный статистический ряд частот и частостей случайной величины X -продолжительности работы транзисторов.

2. Построить гистограмму и полигон частостей.

3. Найти выборочные величины .

4. Обосновать гипотезу о распределении исследуемой величины по показательному закону.

5. Написать формулу плотности вероятности предполагаемого закона.

6. Проверить степень согласия теоретического и эмпирического распределений с помощью критерия χ² Пирсона при уровне значимости α=0.05.

44	78	22	32	144	33	11	41	280	12
10	11	41	140	52	155	40	22	12	66
72	18	10	22	133	12	92	44	104	88
49	21	62	51	21	92	68	49	122	29
30	29	31	21	30	41	42	29	30	31
52	68	44	22	320	52	20	20	71	11
40	9	18	7	92	78	112	32	22	92
42	5	6	45	25	46	111	71	21	31
31	35	45	102	30	31	6	82	48	46
65	18	25	20	98	4	11	84	9	10

Задача 4

Даны результаты испытания прибора на продолжительность работы T (ч.)

Требуется:

1. Составить интервальный статистический ряд.

2. Построить полигон и гистограмму распределения.

3. Подобрать закон распределения испытуемой СВ.

4. Найти точечные оценки параметров распределения.

5. Проверить на уровне значимости α=0.05 гипотезу о выдвинутом законе распределения.

25	125	440	514	24	0	333	700	48	543
525	1240	990	800	413	700	511	630	241	25
1100	810	800	432	68	420	1020	48	0	140
25	85	67	420	1560	920	647	1800	1120	31
1020	2640	84	448	900	24	88	900	1631	35
754	820	1120	3000	1600	1300	2010	18	162	1610
25	444	34	400	32	920	1654	2140	965	750
550	1200	14	417	17	0	81	41	411	1320
1640	1200	600	420	1300	25	3	24	120	1110
700	7	1111	2008	953	1050	125	1300	720	34

Краткая теория
Примеры решения задач
Задачи контрольных и самостоятельных работ

0	0.4	1.5	0.7	2.9	0.3	2.1	0.6	0.2	0.3
7.4	0.2	0.1	1.3	1.5	0.3	1	0.1	2.5	1.2
3.5	5.2	1.3	1	3.3	2.5	9.6	1.6	0.5	3.1
0.8	1.9	0	0.5	1.5	2.1	3	2.3	1	2.3
1.5	2.2	1.4	0.3	0.9	1.2	2.3	0.3	1.1	2
0.2	1.3	0.4	0.1	6.2	4.4	1.4	0.9	1.7	0.5

44	78	22	32	144	33	11	41	280	12
10	11	41	140	52	155	40	22	12	66
72	18	10	22	133	12	92	44	104	88
49	21	62	51	21	92	68	49	122	29
30	29	31	21	30	41	42	29	30	31
52	68	44	22	320	52	20	20	71	11
40	9	18	7	92	78	112	32	22	92
42	5	6	45	25	46	111	71	21	31
31	35	45	102	30	31	6	82	48	46
65	18	25	20	98	4	11	84	9	10

0	0.4	1.5	0.7	2.9	0.3	2.1	0.6	0.2	0.3
7.4	0.2	0.1	1.3	1.5	0.3	1	0.1	2.5	1.2
3.5	5.2	1.3	1	3.3	2.5	9.6	1.6	0.5	3.1
0.8	1.9	0	0.5	1.5	2.1	3	2.3	1	2.3
1.5	2.2	1.4	0.3	0.9	1.2	2.3	0.3	1.1	2
0.2	1.3	0.4	0.1	6.2	4.4	1.4	0.9	1.7	0.5

44	78	22	32	144	33	11	41	280	12
10	11	41	140	52	155	40	22	12	66
72	18	10	22	133	12	92	44	104	88
49	21	62	51	21	92	68	49	122	29
30	29	31	21	30	41	42	29	30	31
52	68	44	22	320	52	20	20	71	11
40	9	18	7	92	78	112	32	22	92
42	5	6	45	25	46	111	71	21	31
31	35	45	102	30	31	6	82	48	46
65	18	25	20	98	4	11	84	9	10

0	0.4	1.5	0.7	2.9	0.3	2.1	0.6	0.2	0.3
7.4	0.2	0.1	1.3	1.5	0.3	1	0.1	2.5	1.2
3.5	5.2	1.3	1	3.3	2.5	9.6	1.6	0.5	3.1
0.8	1.9	0	0.5	1.5	2.1	3	2.3	1	2.3
1.5	2.2	1.4	0.3	0.9	1.2	2.3	0.3	1.1	2
0.2	1.3	0.4	0.1	6.2	4.4	1.4	0.9	1.7	0.5

44	78	22	32	144	33	11	41	280	12
10	11	41	140	52	155	40	22	12	66
72	18	10	22	133	12	92	44	104	88
49	21	62	51	21	92	68	49	122	29
30	29	31	21	30	41	42	29	30	31
52	68	44	22	320	52	20	20	71	11
40	9	18	7	92	78	112	32	22	92
42	5	6	45	25	46	111	71	21	31
31	35	45	102	30	31	6	82	48	46
65	18	25	20	98	4	11	84	9	10