Функции одного и двух случайных аргументов

Краткая теория

Функция одного случайного аргумента

Если каждому возможному значению случайной величины соответствует одно возможное значение случайной величины , то называют функцией случайного аргумента :

Пусть аргумент – дискретная случайная величина.

Если различным возможным значениям аргумента соответствуют различные возможные значения функции , то вероятности соответствующих значений и между собой равны.

Если различным возможным значениям соответствуют значения , среди которых есть равные между собой, то следует складывать вероятности повторяющихся значений .

Математическое ожидание такой функции:

Пусть аргумент – непрерывная случайная величина.

Если – дифференцируемая строго возрастающая или строго убывающая функция, обратная функция которой , то плотность распределения случайной величины находится с помощью равенства:

Математическое ожидание такой функции:

или непосредственно по формуле:

Функция двух случайных аргументов

Если каждой паре возможных значений случайных величин и соответствует одно возможное значение случайной величины , то называют функцией двух случайных аргументов и :

Пусть и – дискретные независимые случайные величины. Для того, чтобы составить закон распределения функции , надо найти все возможные значения и их вероятности.

Пусть и – непрерывные случайные величины. Если и независимы, то плотность распределения суммы (при условии, что плотность хотя бы одного из аргументов задана на интервале одной формулой) может быть найдена с помощью равенства:

либо с помощью равносильного равенства:

где – плотности распределения аргументов

Если возможные значения аргументов неотрицательны, то находят по формуле:

либо с помощью равносильного равенства:

Плотность распределения суммы независимых случайных величин называют композицией.

Смежные темы решебника:

Примеры решения задач

Пример 1

Скачать пример 1 в формате pdf

Дискретная случайная величина задана распределением:

	-2	2	3
	0,4	0,5	0,1

Найти распределение функции .

На сайте можно заказать решение задач, контрольных, самостоятельных, домашних работ (возможно срочное решение), а также онлайн-помощь на экзамене или зачете. Для этого вам нужно только связаться со мной 24/7:

Телеграм @helptask
ВКонтакте (vk.com/task100)
WhatsApp +7 (968) 849-45-98

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту. Срок решения - от 1 часа. Цена - от 200 рублей.

Подробное решение получите точно в срок или раньше.

Решение

Вероятность возможного значения равна сумме вероятностей несовместных событий и , то есть 0,4+0,5=0,9. Вероятность возможного значения равна 0,1.

Искомый закон распределения :

	4	9
	0,9	0,1

Пример 2

Скачать пример 2 в формате pdf

Случайная величина распределена равномерно на интервале . Построить график случайной величины и определить плотность вероятности .

Решение

Построим график

В зависимости от числа обратных функций выделим следующие интервалы для :

На интервалах и обратных функций не существует

Функция на интервале имеет две обратные функции:

На интервале , так как ,

Величина распределена равномерно на интервале , поэтому в этом интервале:

Искомая плотность распределения может быть найдена по формуле:

Функция на интервале имеет одну обратную функцию:

На интервале , так как ,

Таким образом:

Проверка:

Пример 3

Скачать пример 3 в формате pdf

Случайная величина имеет плотность распределения . Для случайной величины найти плотность распределения , вероятность , математическое ожидание и дисперсию .

Телеграм @helptask
ВКонтакте (vk.com/task100)
WhatsApp +7 (968) 849-45-98

Подробное решение получите точно в срок или раньше.

Решение

Плотность распределения задается формулой:

где -функция обратная к

Остальные величины можно вычислить с помощью или непосредственно через по формулам

Пример 4

Скачать пример 4 в формате pdf

Дискретные независимые случайные величины заданы распределениями:

	1	2
	0,4	0,6

	3	4
	0,2	0,8

Составить закон распределения случайной величины

Решение

Возможные значения есть суммы каждого возможного значения со всеми возможными значениями :

Найдем вероятности этих возможных значений.

Для того, чтобы , достаточно, чтобы величина приняла значение и величина – значение . Вероятности этих возможных значений, как следует из данных законов распределения, соответственно равны 0,4 и 0,2.

Аргументы и независимы, поэтому события и независимы, и, следовательно, вероятность их совместного наступления (то есть вероятность события ) по теореме умножения вероятностей равна

Аналогично найдем:

Сложим вероятности несовместных событий: и

Искомое распределение:

	4	5	6
	0,08	0,44	0,48

Проверка:

Пример 5

Скачать пример 5 в формате pdf

Независимые случайные величины и заданы плотностями распределений:

Найти композицию этих законов, то есть плотность распределения случайной величины .

Решение

Так как возможные значения аргументов неотрицательны, то применима формула:

Следовательно:

Здесь , так как и возможные значения и неотрицательны.

Итак: