Функции одного и двух случайных аргументов
Краткая теория
Функция одного случайного аргумента
Если
каждому возможному значению случайной величины
соответствует одно возможное значение
случайной величины
, то
называют функцией случайного аргумента
:
Пусть
аргумент
– дискретная случайная величина.
Если
различным возможным значениям аргумента
соответствуют различные возможные значения
функции
, то вероятности
соответствующих значений
и
между собой равны.
Если
различным возможным значениям
соответствуют значения
, среди которых есть равные
между собой, то следует складывать вероятности повторяющихся значений
.
Математическое ожидание такой функции:
Пусть
аргумент
– непрерывная случайная величина.
Если
– дифференцируемая строго возрастающая или
строго убывающая функция, обратная функция которой
, то плотность
распределения
случайной величины
находится с помощью равенства:
Математическое ожидание такой функции:
или непосредственно по формуле:
Функция двух случайных аргументов
Если
каждой паре возможных значений случайных величин
и
соответствует одно возможное значение
случайной величины
, то
называют функцией двух случайных аргументов
и
:
Пусть
и
– дискретные независимые случайные величины.
Для того, чтобы составить закон распределения функции
, надо найти все возможные
значения
и их вероятности.
Пусть
и
– непрерывные случайные величины. Если
и
независимы, то плотность распределения
суммы
(при условии, что плотность хотя бы одного из
аргументов задана на интервале
одной формулой) может быть найдена с помощью
равенства:
либо с помощью равносильного равенства:
где
– плотности распределения аргументов
Если
возможные значения аргументов неотрицательны, то
находят по формуле:
либо с помощью равносильного равенства:
Плотность распределения суммы независимых случайных величин называют композицией.
Смежные темы решебника:
Примеры решения задач
Пример 1
Дискретная
случайная величина
задана распределением:
|
-2 | 2 | 3 |
|
0,4 | 0,5 | 0,1 |
Найти распределение функции
.
Если по каким-либо причинам не справляетесь с решением задач, на портале можно заказать выполнение расчетной домашней работы, ИДЗ, РГР, контрольной и даже отдельных задач в разумные сроки. Чтобы вы смогли сделать заказ, я доступен по следующим каналам связи:
Контакты будут для вас
видны на территории
России и Беларуси
Общение без посредников. Удобная оплата переводом на банковскую карту. Опыт работы более 25 лет.
Подробное решение в формате электронного документа получите точно в срок или раньше.
Решение
Вероятность
возможного значения
равна сумме вероятностей несовместных событий
и
, то есть 0,4+0,5=0,9.
Вероятность возможного значения
равна 0,1.
Искомый
закон распределения
:
|
4 | 9 |
|
0,9 | 0,1 |
Пример 2
Случайная величина
распределена
равномерно на интервале
. Построить график случайной величины
и определить
плотность вероятности
.
Решение
Построим
график
В
зависимости от числа
обратных функций выделим следующие интервалы
для
:
На
интервалах
и
обратных функций не существует
Функция
на интервале
имеет две обратные функции:
На
интервале
, так как
,
Величина
распределена равномерно на интервале
, поэтому в этом интервале:
Искомая плотность распределения может быть найдена по формуле:
Функция
на интервале
имеет одну обратную функцию:
На
интервале
, так как
,
Таким образом:
Проверка:
Пример 3
Случайная
величина
имеет плотность распределения
. Для случайной величины
найти плотность распределения
, вероятность
, математическое ожидание
и дисперсию
.
Если по каким-либо причинам не справляетесь с решением задач, на портале можно заказать выполнение расчетной домашней работы, ИДЗ, РГР, контрольной и даже отдельных задач в разумные сроки. Чтобы вы смогли сделать заказ, я доступен по следующим каналам связи:
Контакты будут для вас
видны на территории
России и Беларуси
Общение без посредников. Удобная оплата переводом на банковскую карту. Опыт работы более 25 лет.
Подробное решение в формате электронного документа получите точно в срок или раньше.
Решение
Плотность
распределения
задается формулой:
где
-функция обратная к
Остальные величины можно вычислить с
помощью
или
непосредственно через
по формулам
Пример 4
Дискретные независимые случайные величины заданы распределениями:
|
1 | 2 |
|
0,4 | 0,6 |
и
|
3 | 4 |
|
0,2 | 0,8 |
Составить
закон распределения случайной величины
Решение
Возможные
значения
есть суммы каждого возможного значения
со всеми возможными значениями
:
Найдем вероятности этих возможных значений.
Для того,
чтобы
, достаточно, чтобы
величина
приняла значение
и величина
– значение
. Вероятности этих
возможных значений, как следует из данных законов распределения, соответственно
равны 0,4 и 0,2.
Аргументы
и
независимы, поэтому события
и
независимы, и, следовательно, вероятность их
совместного наступления (то есть вероятность события
) по теореме умножения
вероятностей равна
Аналогично найдем:
Сложим
вероятности несовместных событий:
и
Искомое распределение:
|
4 | 5 | 6 |
|
0,08 | 0,44 | 0,48 |
Проверка:
Пример 5
Независимые
случайные величины
и
заданы плотностями распределений:
Найти
композицию этих законов, то есть плотность распределения случайной величины
.
Решение
Так как возможные значения аргументов неотрицательны, то применима формула:
Следовательно:
Здесь
, так как
и возможные значения
и
неотрицательны.
Итак: