Мода и медиана случайной величины.
Квантиль уровня случайной величины
Краткая теория
Кроме математического ожидания и дисперсии, в теории вероятностей применяется еще ряд числовых характеристик, отражающих те или иные особенности распределения.
Мода непрерывной и дискретной случайной величины
Модой
случайной величины называется ее наиболее вероятное значение, для которого
вероятность
или плотность вероятности
достигает максимума.
В частности, наивероятнейшее значение числа успехов в схеме Бернулли – это мода биномиального распределения.
Если вероятность или плотность вероятности достигает максимума не в одной, а в нескольких точках, распределение называется полимодальным.
Полимодальное распределение
Медиана непрерывной и дискретной случайной величины
Медианой случайной величины
называют число
, такое, что
.
То есть вероятность того, что
случайная величина
примет
значение, меньшее медианы
или больше ее,
одна и та же и равна
.
Для дискретной случайной величины
это число может
не совпадать ни с одним из значений
. Поэтому медиану дискретной случайной величины
определяют как любое число
, лежащее между двумя соседними возможными значениями
и
такими, что
.
Для непрерывной случайной величины,
геометрически, вертикальная прямая
, проходящая через точку с абсциссой, равной
, делит площадь фигуры под кривой распределения на две
равные части.
Медиана на графике плотности вероятности непрерывной случайной величины
Очевидно, что в точке
функция распределения непрерывной случайной
величины равна
, то есть
.
Медиана на графике функции распределения непрерывной случайной величины
Квантили и процентные точки случайной величины
Наряду с отмеченными выше числовыми характеристиками для описания случайной величины используется понятие квантилей и процентных точек.
Квантилем уровня
(или
– квантилем)
называется такое значение
случайной
величины, при котором функция ее распределения принимает значение, равное
, то есть:
Некоторые квантили получили особое
называние. Очевидно, что введенная выше медиана случайной величины есть
квантиль уровня 0,5, то есть
. Квантили
и
получили
название соответственно верхнего и нижнего квантилей. Также в литературе
встречаются термины: децили (под которыми понимают квантили
) и процентили (квантили
).
С понятием квантиля тесно связано
понятие процентной точки. Под
точкой
подразумевается квантиль
, то есть такое значение случайной величины
, при котором
.
Смежные темы решебника:
Примеры решения задач
Пример 1
Скачать пример 1 в формате pdf
Найти
моду, медиану, квантиль
и 40%-ную точку случайной величины
c плотностью распределения:
Решение
На сайте можно заказать решение задач, контрольных, самостоятельных, домашних работ (возможно срочное решение), а также онлайн-помощь на экзамене или зачете. Для этого вам нужно только связаться со мной:
Телеграм @helptask
ВКонтакте (vk.com/task100)
WhatsApp +7 (968) 849-45-98
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту.
Подробное решение получите точно в срок или раньше.
Исследуем
функцию на наибольшее и наименьшее значение на отрезке
Производная:
Производная не обращается в нуль.
Значения на концах отрезка:
Следовательно, мода:
Медиану
найдем из условия:
В нашем случае получаем:
Значение
принадлежит отрезку
,
следовательно, искомая медиана:
Квантиль
найдем из уравнения:
Значение
принадлежит отрезку
,
следовательно, искомый квантиль:
Найдем
40%-ную точку случайной величины
, или квантиль
из уравнения:
Значение
принадлежит отрезку
,
следовательно, искомая точка:
Ответ:
.
Пример 2
Скачать пример 2 в формате pdf
Найти
моду, медиану, квантиль
случайной величины
, заданной функцией
распределения:
Решение
На сайте можно заказать решение задач, контрольных, самостоятельных, домашних работ (возможно срочное решение), а также онлайн-помощь на экзамене или зачете. Для этого вам нужно только связаться со мной:
Телеграм @helptask
ВКонтакте (vk.com/task100)
WhatsApp +7 (968) 849-45-98
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту.
Подробное решение получите точно в срок или раньше.
Найдем плотность распределения:
Исследуем
функцию на наибольшее и наименьшее значение на отрезке
Производная:
Значения
функции
в стационарных точках и на концах отрезка:
Распределение полимодальное:
Медиану
найдем из уравнения:
Итак, медиана:
Квантиль
найдем из уравнения:
Итак:
Ответ:
.