Мода и медиана случайной величины.
Квантиль уровня случайной величины

Кроме математического ожидания и дисперсии, в теории вероятностей применяется еще ряд числовых характеристик, отражающих те или иные особенности распределения.

Мода непрерывной и дискретной случайной величины

Модой случайной величины называется ее наиболее вероятное значение, для которого вероятность  или плотность вероятности  достигает максимума.

В частности, наивероятнейшее значение числа успехов в схеме Бернулли – это мода биномиального распределения.

Если вероятность или плотность вероятности достигает максимума не в одной, а в нескольких точках, распределение называется полимодальным.

Полимодальное распределение

Медианой случайной величины  называют число , такое, что .

То есть вероятность того, что случайная величина  примет значение, меньшее медианы  или больше ее, одна и та же и равна .

Для дискретной случайной величины  это число может не совпадать ни с одним из значений . Поэтому медиану дискретной случайной величины определяют как любое число , лежащее между двумя соседними возможными значениями  и  такими, что .

Для непрерывной случайной величины, геометрически, вертикальная прямая , проходящая через точку с абсциссой, равной , делит площадь фигуры под кривой распределения на две равные части.

Медиана на графике плотности вероятности непрерывной случайной величины

Очевидно, что в точке   функция распределения непрерывной случайной величины равна , то есть .

Медиана на графике функции распределения непрерывной случайной величины

Квантили и процентные точки случайной величины

Наряду с отмеченными выше числовыми характеристиками для описания случайной величины используется понятие квантилей и процентных точек.

Квантилем уровня  (или  – квантилем) называется такое значение  случайной величины, при котором функция ее распределения принимает значение, равное , то есть:

Некоторые квантили получили особое называние. Очевидно, что введенная выше медиана случайной величины есть квантиль уровня 0,5, то есть . Квантили  и  получили название соответственно верхнего и нижнего квантилей. Также в литературе встречаются термины: децили (под которыми понимают квантили ) и процентили (квантили ).

С понятием квантиля тесно связано понятие процентной точки. Под  точкой подразумевается квантиль , то есть такое значение случайной величины , при котором .

Смежные темы решебника:

• Структурные средние в статистике - мода, медиана, квантиль, дециль
• Дискретная случайная величина
• Непрерывная случайная величина