Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины

Краткая теория


Ранее непрерывная случайная величина задавалась с помощью функции распределения. Этот способ задания не является единственным. Непрерывную случайную величину можно также задать, используя другую функцию, которую называют плотностью распределения или плотностью вероятности (иногда ее называют дифференциальной функцией).

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины  называют функцию  – первую производную от функции распределения :

Из этого определения следует, что функция распределения является первообразной для плотности распределения.

Заметим, что для описания распределения вероятностей дискретной случайной величины плотность распределения неприменима.

Зная плотность распределения, можно вычислить вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее заданному интервалу.

Вероятность того, что непрерывная случайная величина  примет значение, принадлежащее интервалу  равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от  до :

Геометрически полученный результат можно истолковать так: вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу , равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью , кривой распределения  и прямыми  и .

В частности, если  – четная функция и концы интервала симметричны относительно начала координат, то:

Зная плотность распределения  можно найти функцию распределения  по формуле:

Свойства плотности распределения

Свойство 1.

Плотность распределения – неотрицательная функция:

Свойство 2.

Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от  до  равен единице:

Смежные темы решебника:

Примеры решения задач


Пример 1

Задана плотность распределения вероятностей f(x) непрерывной случайной величины X. Требуется:

1) определить коэффициент A;

2) найти функцию распределения F(x);

3) схематично построить графики F(x) и f(x);

4) найти математическое ожидание и дисперсию X;

5) найти вероятность того, что X примет значение из интервала (α,β):

α=1;  β=1.7

Решение

Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь - свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

1) Постоянный параметр  найдем из свойства плотности вероятности:

В нашем случае эта формула имеет вид:

Получаем:

 

2) Функцию распределения  найдем из формулы:

Учитывая свойства ,  сразу можем отметить, что:

Остается найти выражение для , когда  принадлежит интервалу .

Получаем:

 

3) Построим графики  и :

График плотности распределения

График функции распределения

4) Математическое ожидание находим по формуле:

Для нашего примера:

Дисперсию можно найти по формуле:

 

5) Вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала :


Пример 2

Плотность распределения вероятности непрерывной случайной величины равна , x∈(0,∞). Найти нормировочный множитель C, математическое ожидание M(X) и дисперсию D(X).

Решение

Нормировочный множитель  найдем из свойства плотности вероятности:

В нашем случае эта формула имеет вид:

Плотность вероятности:

Математическое ожидание находим по формуле:

Для нашего примера:

Дисперсию можно найти по формуле: 


Пример 3

Непрерывная случайная величина  имеет плотность распределения:

Найти величину a, вероятность P(X<0) и математическое ожидание X.

Решение

Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь - свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

Постоянный параметр  найдем из свойства плотности вероятности:

В нашем случае эта формула имеет вид:

Плотность вероятности имеет вид:

Вероятность:

Математическое ожидание находим по формуле:

Для нашего примера:

Задачи контрольных и самостоятельных работ


Задача 1

Плотность распределения непрерывной случайной величины X имеет вид:

Найти:

а) параметр a;

б) функцию распределения F(x);

в) вероятность попадания случайной величины X в интервал (6.5;  11);

г) математическое ожидание M(X) и дисперсию D(X);

Построить график функций f(x) и F(x).


Задача 2

Задана функция распределения непрерывной случайной величины:

Найти и построить график функции плотности распределения вероятностей.


Задача 3

Случайная величина X задана функцией распределения F(x). Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины. Построить график функции F(x).


Задача 4

Задана плотность вероятности f(x) или функции распределения непрерывной случайной величины X. Найти a, M[X], D[X], P(α<x<β).

α=1,β=2


Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь - свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

Задача 5

Непрерывная случайная величина  задана плотностью распределения вероятностей.

Требуется найти:

- функцию распределения вероятностей;

- математическое ожидание;

- дисперсию;

- среднее квадратическое отклонение;

- вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидания не более, чем на одну четвертую длины всего интервала возможных значений этой величины;

- построить графики функции распределения и плотности распределения вероятностей.


Задача 6

Случайная величина X равномерно распределена на интервале (2;7). Составить f(x),F(x), построить графики. Найти M(X),D(X).


Задача 7

Случайная величина X~N(a,σ)

a=25; σ=4; α=13; β=30; δ=0.1.

Требуется:

- составить функцию плотности распределения и построить ее график;

- найти вероятность того, что случайная величина в результате испытания примет значение, принадлежащее интервалу (α; β);

- найти вероятность того, что абсолютная величина отклонения значений случайной величины от ее математического ожидания не превысит δ.


Задача 8

Плотность вероятности непрерывной случайной величины ξ задана следующим выражением:

Найти постоянную C, функцию распределения Fξ (x), математическое ожидание и дисперсию Dξ случайной величины ξ.


Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь - свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

Задача 9

Случайная величина X задана функцией распределения вероятностей F(x).

Требуется:

1. Найти функцию плотности распределения f(x).

2. Найти M(X).

3. Найти вероятность P(α<X<β)

4. Построить графики f(x) и F(x).

α=2, β=4.5


Задача 10

Найти функцию плотности нормально распределенной случайной величины X и постройте ее график, зная M(X) и D(X).

M(X)=-1; D(X)=8


Задача 11

Случайная величина X задана интегральной F(x) или дифференциальной f(x) функцией. Требуется:

а) найти параметр C;

б) при заданной интегральной функции F(x) найти дифференциальную функцию f(x), а при заданной дифференциальной функции f(x) найти интегральную функцию F(x);

в) построить графики функций F(x) и f(x);

г) найти математическое ожидание M(X), дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение σ(x);

д) вычислить вероятность попадания в интервал P(a≤x≤b)

е) определить, квантилем какого порядка является точка xp;

ж) вычислить квантиль порядка p

a=π/4; b=π/3; xp=π/2; p=0.75