Простейший поток событий

Краткая теория


Рассмотрим события, которые наступают в случайные моменты времени.

Потоком событий называют последовательность событий, которые наступают в случайные моменты времени.

Примерами потоков служат: поступление вызовов на АТС, на пункт неотложной медицинской помощи, прибытие самолетов в аэропорт, клиентов на предприятие бытового обслуживания, последовательность отказов элементов и многие другие.

Среди свойств, которыми могут обладать потоки, выделим свойства стационарности, отсутствия последействия и ординарности.

Свойство стационарности характеризуется тем, что вероятность появления k событий на любом промежутке времени зависит только от числа  и от длительности промежутка и не зависит от начала его отсчета; при этом различные промежутки времени предполагаются непересекающимися. Например, вероятности появления k событий на промежутках времени  одинаковой длительности  времени равны между собой.

Итак, если поток обладает свойством стационарности, то вероятность появления  событий за промежуток времени длительности  есть функция, зависящая только от  и .

Свойство отсутствия последcтвия характеризуется тем, что вероятность появления  событий на любом промежутке времени не зависит от того, появлялись или не появлялись события в моменты времени, предшествующие началу рассматриваемого промежутка. Другими словами, условная вероятность появления  событий на любом промежутке времени, вычисленная при любых предположениях о том, что происходило до начала рассматриваемого промежутка (сколько событий появилось, в какой последовательности), равна безусловной вероятности. Таким образом, предыстория потока не сказывается на вероятности появления событий в ближайшем будущем.

Итак, если поток обладает свойством отсутствия последействия, то имеет место взаимная независимость появлений того или иного числа событий в непересекающиеся промежутки времени.

Свойство ординарности характеризуется тем, что появление двух и более событий за малый промежуток времени практически невозможно. Другими словами, вероятность появления более одного события пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью появления только одного события.

Итак, если поток обладает свойством ординарности, то за бесконечно малый промежуток времени может появиться не более одного события.

Простейшим (пуассоновским) называют поток событий, который обладает свойствами стационарности, отсутствия последействия и ординарности.

Интенсивностью потока  называют среднее число событий, которые появляются в единицу времени.

Можно доказать, что если постоянная интенсивность потока известна, то вероятность появления  событий простейшего потока за время длительностью  определяется формулой Пуассона:

Эта формула отражает все свойства простейшего потока.

Смежные темы решебника:

Примеры решения задач


Пример 1

В течение одной минуты диспетчеру такси поступает в среднем 4 вызова. Найти вероятность того, что за 2 минуты поступит: а) 5 вызовов; б) хотя бы один вызов.

Решение

Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь - свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

Поток событий - простейший,

Воспользуемся формулой Пуассона:

а) Пусть событие  -  за 2 минуты поступит 5 вызовов

 

б) Пусть событие  - за 2 минуты поступит хотя бы один вызов. Противоположное событие  - за две минуты не поступит ни одного вызова:

Ответ: а)  б) .

 


Пример 2

В радиоаппаратуре за 10000 ч непрерывной работы происходит замена 10 элементов. Найдите вероятность выхода из строя радиоаппаратуры из-за выхода из строя элементов за 100 часов непрерывной работы.

Решение

Поток событий - простейший,

Воспользуемся формулой Пуассона:

Пусть событие  -  за 100 часов ( )  выйдет из строя 1 элемент

Ответ: .


Пример 3

Среднее число вызовов, поступающих на АТС за одну минуту равно 2. Найти вероятность того, что за три минуты поступит:

а) менее трех вызовов;

б) 5 вызовов. Поток вызовов – простейший. 

Решение

Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь - свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

Воспользуемся формулой Пуассона:

а) Вероятность того, что за 3 минуты поступит менее трех вызовов:

б) Вероятность того, что за три минуты поступит 5 вызовов:


Пример 4

Среднее число заявок, поступивших в билетную кассу в одну минуту равна 1,5. Найти вероятность того, что за 2 минуты поступит 4 заявки (менее 4, не менее 4 заявок).

Решение

Из формулы Пуассона вероятность появления 4 заявок за время длительностью  мин:

Событие «поступило менее четырех заявок» произойдет, если наступит одно из следующих несовместимых событий:

1) поступило три заявок;

2) поступило две заявки;

3) поступил одна заявка;

4) не поступило ни одной заявки

Это события несовместимы, поэтому применима теорема сложения вероятностей несовместимых событий:

Событие «поступило менее четырех заявок» и «поступило не менее четырех заявок» противоположны, поэтому искомая вероятность того, что за 2 минуты поступит не менее четырех заявок: