Приложения кратных интегралов в механике
Масса и статистические моменты пластики
Если – область плоскости , занятая пластинкой, и – поверхностная плотность пластики в точке , то масса пластинки и ее статистические моменты и относительно осей и выражаются двойными интегралами:
Если пластика однородна, то
Координаты центра тяжести пластики
Если – центр тяжести пластики, то
где – масса пластинки и – ее статистические моменты относительно осей координат.
Моменты инерции пластики
Моменты инерции пластинки относительно осей и соответственно равны:
Момент инерции пластики относительно начала координат:
Полагая , получаем геометрические моменты инерции плоской фигуры.
Масса тела, занимающего область и статистические моменты тела относительно координатных плоскостей
где – плоскость тела в точке
Координаты центра тяжести
Если тело однородно, то формулах для координат центра тяжести можно положить .
Моменты инерции относительно осей координат
Полагая в этих формулах , получаем геометрические моменты инерции тела.
Примеры решения задач
Задача 1
Вычислить массу материальной пластины, занимающей область плоскости , если поверхностная плотность и границы области заданы уравнениями.
Решение
Сделаем чертеж области :
Искомая масса материальной пластины:
Ответ:
Задача 2
Найти статистический момент фигуры, ограниченной линиями и относительно оси абсцисс.
Решение
Сделаем чертеж:
Статистический момент относительно оси :
Ответ:
Задача 3
Вычислить координаты центра масс однородной материальной пластины , ограниченной данными линиями:
Решение
Сделаем чертеж:
Масса пластинки:
Статистические моменты:
Искомые координаты центра масс:
Ответ: .
Задача 4
Вычислить массу тела , ограниченного заданными поверхностями -плотность в точке .
Решение
На сайте можно заказать решение задач, контрольных, самостоятельных, домашних работ (возможно срочное решение). Для этого вам нужно только связаться со мной:
Телеграм (+7 968 849-45-98)
ВКонтакте
WhatsApp (+7 968 849-45-98)
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту. Опыт работы более 25 лет.
Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.
Изобразим тело на рисунке:
С боков тело будет ограничено цилиндром и плоскостями . Сверху плоскостью
Проекция на плоскость :
Ответ:
Задача 5
Найти момент инерции однородного шара с массой относительно оси .
Решение
Момент инерции относительно оси можно найти по формуле:
Шар однородный, поэтому плотность:
Перейдем к сферическим координатам:
Получаем:
Ответ: