Приложения кратных интегралов в механике

Краткая теория

Масса и статистические моменты пластики

Если  – область плоскости , занятая пластинкой, и  – поверхностная плотность пластики в точке , то масса  пластинки и ее статистические моменты  и  относительно осей  и  выражаются двойными интегралами:

Если пластика однородна, то

 

Координаты центра тяжести пластики

Если  – центр тяжести пластики, то

где  – масса пластинки и  – ее статистические моменты относительно осей координат.

 

Моменты инерции пластики

Моменты инерции пластинки относительно осей  и  соответственно равны:

Момент инерции пластики относительно начала координат:

Полагая , получаем геометрические моменты инерции плоской фигуры.

 

Масса тела, занимающего область  и статистические моменты тела относительно координатных плоскостей

где  – плоскость тела в точке

 

Координаты центра тяжести

Если тело однородно, то формулах для координат центра тяжести можно положить .

 

Моменты инерции относительно осей координат

Полагая в этих формулах , получаем геометрические моменты инерции тела.

Примеры решения задач


Задача 1

Вычислить массу материальной пластины, занимающей область  плоскости , если поверхностная плотность  и границы области  заданы уравнениями.

Решение

Сделаем чертеж области :

Искомая масса материальной пластины:

 

Ответ:


Задача 2

Найти статистический момент фигуры, ограниченной линиями  и  относительно оси абсцисс.

Решение

Сделаем чертеж:

Статистический момент относительно оси :

 

Ответ:


Задача 3

Вычислить координаты центра масс однородной  материальной пластины , ограниченной данными линиями:

Решение

Сделаем чертеж:

Масса пластинки:

Статистические моменты:

 

Искомые координаты центра масс:

 

Ответ: .


Задача 4

Вычислить массу тела , ограниченного заданными поверхностями  -плотность в точке .

Решение

Если вам сейчас не требуется платная помощь с решением задач, контрольных работ и типовых расчетов, но может потребоваться в дальнейшем, то, чтобы не потерять контакт
вступайте в группу ВК
сохраните контакт WhatsApp (+79688494598)
сохраните контакт Телеграм (@helptask) .

Изобразим тело на рисунке:

С боков тело будет ограничено цилиндром  и плоскостями . Сверху плоскостью

Проекция на плоскость :

           

 

 

Ответ:


Задача 5

Найти момент инерции однородного шара  с массой  относительно оси .

Решение

Момент инерции относительно оси  можно найти по формуле:

Шар однородный, поэтому плотность:

Перейдем к сферическим координатам:

 

Получаем:

 

Ответ: