Приложения кратных интегралов в механике
Масса и статистические моменты пластики
Если
– область плоскости
, занятая пластинкой, и
– поверхностная плотность пластики в точке
, то масса
пластинки и ее статистические моменты
и
относительно осей
и
выражаются двойными интегралами:
Если
пластика однородна, то
Координаты центра тяжести пластики
Если
– центр тяжести пластики, то
где
– масса пластинки и
– ее статистические моменты относительно осей
координат.
Моменты инерции пластики
Моменты
инерции пластинки относительно осей
и
соответственно равны:
Момент инерции пластики относительно начала координат:
Полагая
, получаем геометрические моменты инерции плоской
фигуры.
Масса тела, занимающего область
и статистические моменты тела относительно
координатных плоскостей
где
– плоскость тела в точке
Координаты центра тяжести
Если тело
однородно, то формулах для координат центра тяжести можно положить
.
Моменты инерции относительно осей координат
Полагая в
этих формулах
, получаем геометрические
моменты инерции тела.
Примеры решения задач
Задача 1
Вычислить
массу материальной пластины, занимающей область
плоскости
, если поверхностная
плотность
и границы области
заданы уравнениями.
Решение
Сделаем
чертеж области
:
Искомая масса материальной пластины:
Ответ:
Задача 2
Найти
статистический момент фигуры, ограниченной линиями
и
относительно оси абсцисс.
Решение
Сделаем чертеж:
Статистический
момент относительно оси
:
Ответ:
Задача 3
Вычислить
координаты центра масс однородной
материальной пластины
, ограниченной данными
линиями:
Решение
Сделаем чертеж:
Масса пластинки:
Статистические моменты:
Искомые координаты центра масс:
Ответ:
.
Задача 4
Вычислить массу тела
, ограниченного заданными поверхностями
-плотность в
точке
.
Решение
На сайте можно заказать решение задач, контрольных, самостоятельных, домашних работ (возможно срочное решение), а также онлайн-помощь на экзамене или зачете. Для этого вам нужно только связаться со мной:
Телеграм @helptask
ВКонтакте (vk.com/task100)
WhatsApp +7 (968) 849-45-98
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту.
Подробное решение получите точно в срок или раньше.
Изобразим тело на рисунке:
С боков
тело будет ограничено цилиндром
и плоскостями
. Сверху плоскостью
Проекция на плоскость
:
Ответ:
Задача 5
Найти
момент инерции однородного шара
с массой
относительно оси
.
Решение
Момент
инерции относительно оси
можно найти по формуле:
Шар однородный, поэтому плотность:
Перейдем к сферическим координатам:
Получаем:
Ответ: