Платная помощь студентам - решение задач и контрольных работ

Помощь в решении ваших задач, домашних работ и контрольных вы можете найти, отправив сообщение ВКонтакте, WhatsApp, Telegram или электроннной почтой, сообщив необходимые вам сроки решения и скинув условие.
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение с автором студенческих работ без посредников. Опыт работы более 20 лет.
Высшая математика и физика, теория вероятностей, линейное программирование, статистика, эконометрика, финансовая математика, методы и модели, оптимальные решения.
На цену сильно влияет срочность решения. Онлайн-помощь на экзамене/зачете (срок решения 1,5 часа и меньше) осуществляется по предварительной записи.

Приложения кратных интегралов в механике

Краткая теория

1. Масса и статистические моменты пластики.

Если  – область плоскости , занятая пластинкой, и  – поверхностная плотность пластики в точке , то масса  пластинки и ее статистические моменты  и  относительно осей  и  выражаются двойными интегралами:

Если пластика однородна, то

 

2. Координаты центра тяжести пластики.

Если  – центр тяжести пластики, то

где  – масса пластинки и  – ее статистические моменты относительно осей координат.

 

3. Моменты инерции пластики

Моменты инерции пластинки относительно осей  и  соответственно равны:

Момент инерции пластики относительно начала координат:

Полагая , получаем геометрические моменты инерции плоской фигуры.

 

4. Масса тела, занимающего область  и статистические моменты тела относительно координатных плоскостей:

где  – плоскость тела в точке

 

5. Координаты центра тяжести

Если тело однородно, то формулах для координат центра тяжести можно положить .

 

6. Моменты инерции относительно осей координат:

Полагая в этих формулах , получаем геометрические моменты инерции тела.

Примеры решения задач

Пример 1

Вычислить массу материальной пластины, занимающей область  плоскости , если поверхностная плотность  и границы области  заданы уравнениями.

Решение:

Сделаем чертеж области :

Искомая масса материальной пластины:

Ответ:

Пример 2

Найти статистический момент фигуры, ограниченной линиями  и  относительно оси абсцисс.

Решение:

Сделаем чертеж:

Статистический момент относительно оси :

Ответ:

 

 

Пример 3

Вычислить координаты центра масс однородной  материальной пластины , ограниченной данными линиями:

Решение:

Сделаем чертеж:

Масса пластинки:

Статистические моменты:

 

Искомые координаты центра масс:

Ответ: .

 

 

Пример 4

Вычислить массу тела , ограниченного заданными поверхностями  -плотность в точке .

Решение:

Задали объемную домашнюю работу или контрольную? Скоро важный зачет/экзамен? Нет времени на выполнение работы или подготовку к зачету/экзамену, но есть деньги? На сайте 100task.ru можно заказать решение задач, домашних работ, контрольных или онлайн-помощь на зачете/экзамене ⟩⟩

Если вам сейчас не требуется помощь, но может потребоваться в дальнейшем, то, чтобы не потерять контакт, вступайте в группу ВК.

Изобразим тело на рисунке:

С боков тело будет ограничено цилиндром  и плоскостями . Сверху плоскостью

Проекция на плоскость :

           

 

Ответ:

Пример 5

Найти момент инерции однородного шара  с массой  относительно оси .

Решение:

Момент инерции относительно оси  можно найти по формуле:

Шар однородный, поэтому плотность:

Перейдем к сферическим координатам:

 

Получаем:

Ответ:

К оглавлению решебника по высшей математике