Интегрирование тригонометрических функций

Краткая теория

I. Для нахождения интегралов вида:

применяются следующие тригонометрические формулы:

 

Интегралы вида

находят с помощью различных тригонометрических формул, применение которых зависит от показателей степени  и . Рассмотрим наиболее часто встречающиеся случаи.

а)  Если хотя бы одно из чисел  или  положительно и нечетно, то от нечетной степени отделяют множитель  (или ), а оставшийся множитель в четной степени преобразуют по формуле  (или ) и применяют подстановку  (или ).

 

б)  Если оба показателя  и  положительны и четны (или один из них нуль), то показатели степени уменьшают с помощью формул:

 

в) Если , то подынтегральную функцию записывают (или она уже записана) в виде дроби, в знаменателе которой выделяют множитель  (или ). Выражение

заменяют на  (или ) и применяют подстановку  (или )

Примеры вычислений интегралов такого вида под номерами 1-3.

 

II. Интегралы вида

где  – рациональная функция, аргументами которой являются  и , в общем случае приводятся к интегралам от рациональных функций с аргументом  с помощью универсальной подстановки

При этом:

Универсальная подстановка часто ведет к слишком громоздким накладкам, поэтому ее следует применять лишь в тех случаях, когда невозможно найти более легкий способ нахождения интеграла.

Если подынтегральная функция обладает одним из следующих свойств:

то для нахождения интеграла целесообразно использовать одну из подстановок  или  соответственно.

Примеры вычислений интегралов такого вида под номерами 4-7.

Методы интегрирования других видов функций:

Примеры интегрирования

Пример 1

Найти неопределенный интеграл

Решение:

 

Пример 2

Найти неопределенный интеграл

Решение:

Пример 3

Найти неопределенный интеграл

Решение:

 

Пример 4

Найти неопределенный интеграл

Решение:

 

Пример 5

Найти неопределенный интеграл

Решение:

 

 

 

Пример 6

Найти неопределенный интеграл

Решение:

 

Пример 7

Найти неопределенный интеграл

Решение:

К оглавлению решебника по высшей математике