Интегрирование выражений содержащих квадратный трехчлен

Краткая теория


I. Интегралы вида

Основной прием вычисления – приведение квадратного трехчлена к виду:

где  и  – постоянные.

Для выполнения преобразования удобнее всего из квадратного трехчлена выделить полный квадрат. Можно также воспользоваться подстановкой

Если , то приводя квадратный трехчлен к виду (*), получаем табличные интегралы

или

Примеры вычислений интегралов такого вида под номерами 1-2.

 

II. Интегралы вида

Методы вычислений аналогичны разобранным выше. В конечном итоге интеграл приводится к табличному интегралу

если

или

если

Примеры вычислений интегралов такого вида под номерами 3-5.

 

III. Интегралы вида

С помощью обратной подстановки

эти интегралы приводятся к интегралам вида II.

Примеры вычислений интегралов такого вида под номерами 6-7

 

IV. Интегралы вида

Путем выделения из квадратного трехчлена полного квадрата  данный интеграл сводится к одному из следующих двух основных интегралов:

 

Эти интегралы с помощью тригонометрических подстановок соответственно   и  сводятся к интегралам от выражений, рациональных относительно синуса и косинуса.

Примеры вычислений интегралов такого вида под номерами 8-9.


Методы интегрирования других видов функций:

Примеры интегрирования


Пример 1

Найти неопределенный интеграл:

Решение


Пример 2

Найти неопределенный интеграл:

Решение


Пример 3

Найти неопределенный интеграл:

Решение


Пример 4

Найти неопределенный интеграл:

Решение


Пример 5

Найти неопределенный интеграл:

Решение

Если вам сейчас не требуется платная помощь с решением задач, контрольных работ и типовых расчетов, но может потребоваться в дальнейшем, то, чтобы не потерять контакт
вступайте в группу ВК
сохраните контакт WhatsApp (+79688494598)
сохраните контакт Телеграм (@helptask) .


Пример 6

Найти неопределенный интеграл:

Решение


Пример 7

Найти неопределенный интеграл:

Решение


Пример 8

Найти неопределенный интеграл:

Решение


Пример 9

Найти неопределенный интеграл, результат проверить дифференцированием:

Решение

Проверка: