Интегрирование выражений содержащих квадратный трехчлен

I. Интегралы вида

Основной прием вычисления – приведение квадратного трехчлена к виду:

где  и  – постоянные.

Для выполнения преобразования удобнее всего из квадратного трехчлена выделить полный квадрат. Можно также воспользоваться подстановкой

Если , то приводя квадратный трехчлен к виду (*), получаем табличные интегралы

или

Примеры вычислений интегралов такого вида под номерами 1-2.

II. Интегралы вида

Методы вычислений аналогичны разобранным выше. В конечном итоге интеграл приводится к табличному интегралу

если

или

если

Примеры вычислений интегралов такого вида под номерами 3-5.

III. Интегралы вида

С помощью обратной подстановки

эти интегралы приводятся к интегралам вида II.

Примеры вычислений интегралов такого вида под номерами 6-7

IV. Интегралы вида

Путем выделения из квадратного трехчлена полного квадрата  данный интеграл сводится к одному из следующих двух основных интегралов:

Эти интегралы с помощью тригонометрических подстановок соответственно   и  сводятся к интегралам от выражений, рациональных относительно синуса и косинуса.

Примеры вычислений интегралов такого вида под номерами 8-9.